Determine a reta que melhor aproxime a função
no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a reta que melhor aproxima a função
no intervalo de
. Para isso, vamos usar o método dos mínimos quadrados, que ajuda a encontrar a melhor linha reta que “encaixa” na curva da função. Vamos precisar entender um pouquinho de cálculo e álgebra para isso, mas vou explicar tudinho!
Passo 2
Primeiro, vamos considerar que a reta que queremos encontrar tem a forma
, onde
é o coeficiente linear e
é o coeficiente angular. Nosso objetivo é descobrir os valores de
e
que fazem essa reta ser a melhor aproximação da função
no intervalo de
.
Passo 3
Para achar os valores de
e
, vamos minimizar o erro entre a função e a reta. Esse erro é dado pela diferença
. No método dos mínimos quadrados, a gente quer minimizar o quadrado desse erro, ou seja, minimizar a integral de
de
a
.
Passo 4
Então, vamos calcular a integral:
Para minimizar essa integral, precisamos achar as derivadas parciais em relação a
e
, e igualá-las a zero. Isso nos dará um sistema de equações para resolver.
Passo 5
Primeiro, vamos expandir o quadrado:
Agora, integramos cada termo de
a
:
Passo 6
Somando tudo, a integral fica:
Para minimizar, derivamos em relação a
e
e igualamos a zero.
Passo 7
Derivando em relação a
:
Derivando em relação a
:
Passo 8
Agora, temos o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar
em função de
:
Substituindo na segunda equação:
Passo 9
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por 3 para eliminar a fração:
Subtraindo 4 de ambos os lados:
Então:
Passo 10
Agora que temos
, substituímos de volta para encontrar
:
Resposta
A reta que melhor aproxima a função
no intervalo
é: