Determine a reta que melhor aproxime a função f(x)=4 x^3 no intervalo [0,1].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a reta que melhor aproxima a função no intervalo de . Para isso, vamos usar o método dos mínimos quadrados, que ajuda a encontrar a melhor linha reta que “encaixa” na curva da função. Vamos precisar entender um pouquinho de cálculo e álgebra para isso, mas vou explicar tudinho!

Passo 2

Primeiro, vamos considerar que a reta que queremos encontrar tem a forma , onde é o coeficiente linear e é o coeficiente angular. Nosso objetivo é descobrir os valores de e que fazem essa reta ser a melhor aproximação da função no intervalo de .

Passo 3

Para achar os valores de e , vamos minimizar o erro entre a função e a reta. Esse erro é dado pela diferença . No método dos mínimos quadrados, a gente quer minimizar o quadrado desse erro, ou seja, minimizar a integral de de a .

Passo 4

Então, vamos calcular a integral:
integral0^1 (4x^3 - a - bx)^2 , dx
Para minimizar essa integral, precisamos achar as derivadas parciais em relação a e , e igualá-las a zero. Isso nos dará um sistema de equações para resolver.

Passo 5

Primeiro, vamos expandir o quadrado:
(4x^3 - a - bx)^2 = 16x^6 - 8ax^3 - 8bx^4 + a^2 + 2abx + b^2x^2
Agora, integramos cada termo de integral0^1 16x^6 , dx = 167 a integral0^1 -8ax^3 , dx = -8a cdot 14 = -2a :
integral0^1 -8bx^4 , dx = -8b cdot 15 = -8b5
integral0^1 a^2 , dx = a^2
integral0^1 2abx , dx = 2ab cdot 12 = ab
integral0^1 b^2x^2 , dx = b^2 cdot 13 = b^23

Passo 6

Somando tudo, a integral fica:
167 - 2a - 8b5 + a^2 + ab + b^23
Para minimizar, derivamos em relação a e e igualamos a zero.

Passo 7

Derivando em relação a -2 + 2a + b = 0 Rightarrow 2a + b = 2 :
-85 + a + 2b3 = 0 Rightarrow a + 2b3 = 85
Derivando em relação a :

Passo 8

Agora, temos o seguinte sistema de equações:
2a + b = 2 a + 2b3 = 85
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar b = 2 - 2a em função de a + 2(2 - 2a)3 = 85 :
Substituindo na segunda equação:

Passo 9

Simplificando:
a + 4 - 4a3 = 85
Multiplicando todos os termos por 3 para eliminar a fração:
3a + 4 - 4a = 245
- a + 4 = 245
Subtraindo 4 de ambos os lados:
- a = 245 - 4 = 245 - 205 = 45
Então:
a = -45

Passo 10

Agora que temos b = 2 - 2(-45) = 2 + 85 = 105 + 85 = 185 , substituímos de volta para encontrar :

Resposta

A reta que melhor aproxima a função L(x) = -45 + 185x no intervalo é:

Exercícios relacionados