Sabe-se que a dependência funcional entre a carga Q de um condensador e o tempo t é do tipo Q=alpha 10^beta t. Determine alpha e beta a partir da tabela abaixo:
t(s) 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
Q (coulomb) 4.78 3.97 3.30 2.75 2.29 1.90

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos diz que a carga de um condensador depende do tempo segundo a relação . Nosso objetivo é encontrar os valores de e usando os dados fornecidos na tabela. Para isso, vamos precisar usar conceitos de funções exponenciais e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula . Nessa equação, é a carga quando (pois qualquer número elevado a 0 é 1), e determina como a carga muda com o tempo. Como temos vários pares de e , podemos criar equações para encontrar e .

Passo 3

Vamos usar dois pontos da tabela para montar um sistema de equações. Por exemplo, quando 4.78 = alpha cdot 10^beta cdot 0.5 s, 1.90 = alpha cdot 10^beta cdot 1.0 C, e quando s, C. Substituindo esses valores na fórmula:

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ( 1.904.78 = alpha cdot 10^beta cdot 1.0alpha cdot 10^beta cdot 0.5 Rightarrow 1.904.78 = 10^beta cdot 0.5 e ). Podemos resolver esse sistema dividindo a segunda equação pela primeira para eliminar :

Passo 5

Vamos calcular o lado esquerdo:
1.904.78 approx 0.397
Então, temos:
0.397 = 10^0.5beta

Passo 6

Para resolver para log10(0.397) = 0.5beta , vamos aplicar o logaritmo de base 10 em ambos os lados:
log10(0.397) approx -0.401
Calculando o logaritmo:
-0.401 = 0.5beta Rightarrow beta = -0.4010.5 approx -0.802
Então:

Passo 7

Agora que temos 4.78 = alpha cdot 10^(-0.802) cdot 0.5 = alpha cdot 10^-0.401 , podemos encontrar 10^-0.401 approx 0.397 usando uma das equações originais. Vamos usar a primeira:
4.78 = alpha cdot 0.397 Rightarrow alpha = 4.780.397 approx 12.06
Calculando :
Então:

Resposta

Os valores encontrados são e .

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