Determine pelo método dos quadrados mínimos uma aproximação para f(x)=sen(x) no intervalo [0, pi] por polinômios ortogonais de grau 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que encontrar uma aproximação para a função no intervalo de usando o método dos quadrados mínimos com polinômios ortogonais de grau 2. Isso significa que vamos buscar um polinômio de segundo grau que “se encaixe” melhor possível na curva de nesse intervalo. Para isso, vamos precisar entender o que são polinômios ortogonais, como usar o método dos quadrados mínimos e como calcular certos integrais para determinar os coeficientes desse polinômio.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são polinômios ortogonais. Basicamente, são polinômios que são “perpendiculares” entre si em relação a um produto interno definido por uma integral. No nosso caso, o intervalo é de a , então vamos considerar polinômios que sejam ortogonais nesse intervalo. Usar polinômios ortogonais facilita bastante os cálculos porque elimina termos cruzados ao determinar os coeficientes do polinômio aproximador.

Passo 3

Agora, vamos construir nosso polinômio de grau 2. Vamos chamar ele de , onde e são os coeficientes que precisamos encontrar. Para determinar esses coeficientes, vamos usar o método dos quadrados mínimos, que basicamente busca minimizar a diferença entre e no intervalo dado.

Passo 4

Para aplicar os quadrados mínimos com polinômios ortogonais, vamos assumir que já temos um conjunto de polinômios ortogonais P2(x) = c0 phi0(x) + c1 phi1(x) + c2 phi2(x) no intervalo . Nosso polinômio aproximador pode ser escrito como uma combinação linear desses polinômios:
Aqui, e são os coeficientes que vamos determinar.

Passo 5

Para encontrar esses coeficientes, vamos usar a propriedade de ortogonalidade. Cada coeficiente ck = lang<= sin(x), phik(x) rang<=lang<= phik(x), phik(x) rang<= é dado pela razão entre o produto interno de lang<= f, g rang<= = integral0^pi f(x) g(x) , dx com e o produto interno de consigo mesmo. Matemáticamente, isso fica assim:
Onde o produto interno é definido por:

Passo 6

Vamos calcular cada coeficiente:
  1. Para c0 = integral0^pi sin(x) phi0(x) , dxintegral0^pi phi0(x)^2 , dx :
c1 = integral0^pi sin(x) phi1(x) , dxintegral0^pi phi1(x)^2 , dx
  1. Para c2 = integral0^pi sin(x) phi2(x) , dxintegral0^pi phi2(x)^2 , dx :
  1. Para :
Essas integrais nos dão os valores dos coeficientes que melhor ajustam o polinômio à função .

Passo 7

Depois de calcular os valores de e , substituímos esses coeficientes na expressão do polinômio . Esse será o nosso polinômio de segundo grau que mais se aproxima de no intervalo segundo o método dos quadrados mínimos.

Resposta

A aproximação de P2(x) = c0 phi0(x) + c1 phi1(x) + c2 phi2(x) no intervalo ck = integral0^pi sin(x) phik(x) , dxintegral0^pi phik(x)^2 , dx para k = 0, 1, 2 pelo método dos quadrados mínimos usando polinômios ortogonais de grau 2 é:
Onde os coeficientes e são determinados pelas integrais:
Essa expressão representa o polinômio de grau 2 que melhor aproxima no intervalo dado segundo os critérios dos quadrados mínimos.

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