Determine a reta em R2 de equação que melhor se adapte aos pontos dados:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta na forma que melhor se ajusta aos pontos dados: , e . Isso está dentro do conteúdo de regressão linear, que é uma técnica usada para encontrar a melhor linha que representa a relação entre duas variáveis. Para resolver, vamos precisar usar o método dos mínimos quadrados, que ajuda a minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela reta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que queremos encontrar o valor de que faz com que a reta fique o mais próxima possível de todos os pontos dados. Isso significa que vamos minimizar a soma das diferenças ao quadrado entre os valores reais de e os valores que a reta prevê para esses .

Passo 3

Vamos calcular a soma dos quadrados das diferenças (chamamos isso de erro quadrático) para cada ponto:
Substituindo pelos pontos fornecidos:

Passo 4

Para encontrar o que minimiza esse erro, vamos derivar a expressão do erro total em relação a e igualar a derivada a zero. Isso vai nos dar o ponto onde o erro é mínimo.
Primeiro, expandimos a expressão do erro:
Agora, derivamos em relação a :
Igualamos a derivada a zero para encontrar o mínimo:

Passo 5

Resolvendo para :

Resposta

A reta que melhor se ajusta aos pontos dados é , ou aproximadamente .

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