Determine a reta em R2 de equação y=k x que melhor se adapte aos pontos dados:
(6,9),(1,2),(5,8)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta na forma que melhor se ajusta aos pontos dados: , e . Isso está dentro do conteúdo de regressão linear, que é uma técnica usada para encontrar a melhor linha que representa a relação entre duas variáveis. Para resolver, vamos precisar usar o método dos mínimos quadrados, que ajuda a minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela reta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que queremos encontrar o valor de que faz com que a reta fique o mais próxima possível de todos os pontos dados. Isso significa que vamos minimizar a soma das diferenças ao quadrado entre os valores reais de e os valores que a reta prevê para esses .

Passo 3

Vamos calcular a soma dos quadrados das diferenças (chamamos isso de erro quadrático) para cada ponto:
Erro total = (y1 - kx1)^2 + (y2 - kx2)^2 + (y3 - kx3)^2
Substituindo pelos pontos fornecidos:
Erro total = (9 - 6k)^2 + (2 - 1k)^2 + (8 - 5k)^2

Passo 4

Para encontrar o Erro total &= (9 - 6k)^2 + (2 - k)^2 + (8 - 5k)^2 &= 81 - 108k + 36k^2 + 4 - 4k + k^2 + 64 - 80k + 25k^2 &= (36k^2 + k^2 + 25k^2) + (-108k - 4k - 80k) + (81 + 4 + 64) &= 62k^2 - 192k + 149 que minimiza esse erro, vamos derivar a expressão do erro total em relação a d(Erro total)dk = 124k - 192 e igualar a derivada a zero. Isso vai nos dar o ponto onde o erro é mínimo.
Primeiro, expandimos a expressão do erro:
124k - 192 = 0
Agora, derivamos em relação a :
Igualamos a derivada a zero para encontrar o mínimo:

Passo 5

Resolvendo para 124k = 192 k = 192124 k = 4831 approx 1.548 :

Resposta

A reta que melhor se ajusta aos pontos dados é , ou aproximadamente .

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