1^a Questão (4,5 pontos) Considere o operador linear escrito na base canônica
TC=[ccccc 2 & 1 & 0 & 0 & 0 3 & 4 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 3 & -1 & -3 0 & 0 & 0 & 2 & -2 0 & 0 & 0 & 0 & -1 ]
a-Determine os autovalores deste operador. (1,0 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os autovalores de um operador linear representado por uma matriz na base canônica. Basicamente, os autovalores são os números que fazem com que a matriz, quando subtraímos eles na diagonal principal, tenha determinante zero. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes e autovalores.

Passo 2

Primeiro, para encontrar os autovalores, a gente precisa resolver a equação característica da matriz. Isso significa que vamos calcular o determinante da matriz det(TC - lambda I) = 0 e igualar a zero:
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores que queremos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a matriz TC=[ccccc 2 & 1 & 0 & 0 & 0 3 & 4 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 3 & -1 & -3 0 & 0 & 0 & 2 & -2 0 & 0 & 0 & 0 & -1 ] que foi dada:
Notamos que a matriz é block diagonal, ou seja, está dividida em blocos menores que não interagem entre si. Isso facilita bastante a nossa vida porque os autovalores da matriz completa serão os autovalores de cada bloco menor.

Passo 4

Vamos separar a matriz em seus blocos:
  1. Primeiro bloco 2x2:
[cc 2 & 1 3 & 4 ]
Para encontrar os autovalores desse bloco, calculamos o determinante de det(cc 2 - lambda & 1 3 & 4 - lambda ) = (2 - lambda)(4 - lambda) - 3 times 1 = 0 :
(2 - lambda)(4 - lambda) - 3 = lambda^2 - 6lambda + 5 = 0
Simplificando:
lambda = 6 pm raiz36 - 202 = 6 pm raiz162 = 6 pm 42
Resolvendo a equação quadrática:
lambda1 = 6 + 42 = 5 lambda2 = 6 - 42 = 1
Então, os autovalores são:
[ccc 3 & -1 & -3 0 & 2 & -2 0 & 0 & -1 ]
  1. Segundo bloco 3x3:
lambda3 = 3 lambda4 = 2 lambda5 = -1
Essa é uma matriz triangular superior, o que significa que os autovalores são simplesmente os elementos da diagonal principal. Portanto, os autovalores são:

Resposta

Os autovalores do operador são , , , e .

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