Questão (4,5 pontos) Considere o operador linear escrito na base canônica
a-Determine os autovalores deste operador. (1,0 ponto)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os autovalores de um operador linear representado por uma matriz na base canônica. Basicamente, os autovalores são os números que fazem com que a matriz, quando subtraímos eles na diagonal principal, tenha determinante zero. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes e autovalores.
Passo 2
Primeiro, para encontrar os autovalores, a gente precisa resolver a equação característica da matriz. Isso significa que vamos calcular o determinante da matriz e igualar a zero:
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores que queremos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a matriz que foi dada:
Notamos que a matriz é block diagonal, ou seja, está dividida em blocos menores que não interagem entre si. Isso facilita bastante a nossa vida porque os autovalores da matriz completa serão os autovalores de cada bloco menor.
Passo 4
Vamos separar a matriz em seus blocos:
Primeiro bloco 2x2:
Para encontrar os autovalores desse bloco, calculamos o determinante de :
Simplificando:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os autovalores são:
Segundo bloco 3x3:
Essa é uma matriz triangular superior, o que significa que os autovalores são simplesmente os elementos da diagonal principal. Portanto, os autovalores são: