Questão (4,5 pontos) Considere o operador linear escrito na base canônica
a-Determine os autovalores deste operador. (1,0 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os autovalores de um operador linear representado por uma matriz na base canônica. Basicamente, os autovalores são os números que fazem com que a matriz, quando subtraímos eles na diagonal principal, tenha determinante zero. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes e autovalores.

Passo 2

Primeiro, para encontrar os autovalores, a gente precisa resolver a equação característica da matriz. Isso significa que vamos calcular o determinante da matriz e igualar a zero:
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores que queremos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a matriz que foi dada:
Notamos que a matriz é block diagonal, ou seja, está dividida em blocos menores que não interagem entre si. Isso facilita bastante a nossa vida porque os autovalores da matriz completa serão os autovalores de cada bloco menor.

Passo 4

Vamos separar a matriz em seus blocos:
  1. Primeiro bloco 2x2:
Para encontrar os autovalores desse bloco, calculamos o determinante de :
Simplificando:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os autovalores são:
  1. Segundo bloco 3x3:
Essa é uma matriz triangular superior, o que significa que os autovalores são simplesmente os elementos da diagonal principal. Portanto, os autovalores são:

Resposta

Os autovalores do operador são , , , e .

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b-Determine os autovetores deste operador. ( 1,0 ponto)