Sejam
um anel e
ideais de
. Mostre que
a)
é ideal de
.
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para gente mostrar que a soma de dois ideais,
, em um anel
, também é um ideal de
. Então, estamos trabalhando com Teoria dos Anéis, especificamente com ideais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um ideal e como a soma de dois conjuntos pode formar outro ideal.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um ideal. Em um anel
, um conjunto
é chamado de ideal se ele satisfaz duas condições principais:
- Fechamento pela adição e existência do elemento zero: Se
, então , e o elemento zero do anel está em . - Absorção pela multiplicação do anel: Para qualquer
e qualquer , tanto quanto .
Agora, a soma
é o conjunto formado por todas as somas
, onde
e
. Precisamos mostrar que
também satisfaz as duas condições de um ideal.
Passo 3
Primeira condição: Fechamento pela adição e existência do zero.
-
Fechamento pela adição: Se temos dois elementos em
, digamos e , onde e , então a soma desses dois elementos é: Comoe são ideais, e , logo, . -
Existência do zero: O elemento zero do anel
pode ser escrito como , onde e (já que ideais contêm o zero). Então, .
Segunda condição: Absorção pela multiplicação do anel.
-
Vamos pegar um elemento qualquer de
, digamos , onde e , e multiplicar por um elemento qualquer . Precisamos mostrar que e também estão em . Comoe são ideais, , , e . Logo, e .
Resposta
Portanto,
satisfaz todas as condições para ser um ideal de
, ou seja,
é um ideal de
.