Sejam um anel e ideais de . Mostre que
a) é ideal de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para gente mostrar que a soma de dois ideais, , em um anel , também é um ideal de . Então, estamos trabalhando com **Teoria dos Anéis**, especificamente com **ideais**. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um ideal e como a soma de dois conjuntos pode formar outro ideal.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um ideal. Em um anel , um conjunto é chamado de **ideal** se ele satisfaz duas condições principais:
1. **Fechamento pela adição e existência do elemento zero:** Se , então , e o elemento zero do anel está em .
2. **Absorção pela multiplicação do anel:** Para qualquer e qualquer , tanto quanto .
Agora, a soma é o conjunto formado por todas as somas , onde e . Precisamos mostrar que também satisfaz as duas condições de um ideal.
Passo 3
**Primeira condição: Fechamento pela adição e existência do zero.**
- **Fechamento pela adição:** Se temos dois elementos em , digamos e , onde e , então a soma desses dois elementos é:
Como e são ideais, e , logo, .
- **Existência do zero:** O elemento zero do anel pode ser escrito como , onde e (já que ideais contêm o zero). Então, .
**Segunda condição: Absorção pela multiplicação do anel.**
- Vamos pegar um elemento qualquer de , digamos , onde e , e multiplicar por um elemento qualquer . Precisamos mostrar que e também estão em .
Como e são ideais, , , e . Logo, e .
Resposta
Portanto, satisfaz todas as condições para ser um ideal de , ou seja, ** é um ideal de **.