Sejam A um anel e I, J ideais de A. Mostre que
a) I+J é ideal de A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para gente mostrar que a soma de dois ideais, , em um anel , também é um ideal de . Então, estamos trabalhando com Teoria dos Anéis, especificamente com ideais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um ideal e como a soma de dois conjuntos pode formar outro ideal.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um ideal. Em um anel , um conjunto é chamado de ideal se ele satisfaz duas condições principais:
  1. Fechamento pela adição e existência do elemento zero: Se , então , e o elemento zero do anel está em .
  2. Absorção pela multiplicação do anel: Para qualquer e qualquer , tanto quanto .
Agora, a soma é o conjunto formado por todas as somas , onde e . Precisamos mostrar que também satisfaz as duas condições de um ideal.

Passo 3

Primeira condição: Fechamento pela adição e existência do zero.
  • Fechamento pela adição: Se temos dois elementos em (i1 + j1) + (i2 + j2) = (i1 + i2) + (j1 + j2) , digamos r cdot (i + j) = r cdot i + r cdot j e (i + j) cdot r = i cdot r + j cdot r , onde e , então a soma desses dois elementos é:
    Como e são ideais, e , logo, .
  • Existência do zero: O elemento zero do anel pode ser escrito como , onde e (já que ideais contêm o zero). Então, .
Segunda condição: Absorção pela multiplicação do anel.
  • Vamos pegar um elemento qualquer de , digamos , onde e , e multiplicar por um elemento qualquer . Precisamos mostrar que e também estão em .
    Como e são ideais, , , e . Logo, e .

Resposta

Portanto, satisfaz todas as condições para ser um ideal de , ou seja, é um ideal de .

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