Determine a reta simétrica à reta r em relação à reta s, onde:
r: 4 x-y=3 e s: 2 x-y=-1.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar uma reta simétrica à reta em relação à reta . Estamos trabalhando com geometria analítica, e para resolver isso, precisamos usar conceitos de reflexão de retas.

Passo 2

Vamos começar identificando as equações das retas dadas:
  • Reta :
  • Reta :

Passo 3

Para facilitar o trabalho, vamos reescrever as equações das retas na forma explícita 4x - y = 3 Rightarrow y = 4x - 3 , onde 2x - y = -1 Rightarrow y = 2x + 1 é a inclinação e é o intercepto com o eixo y.
Para a reta :
Então, a inclinação .
Para a reta :
Então, a inclinação .

Passo 4

A inclinação mr' = 2ms - mr(1 - ms^2)1 + 2ms mr - ms^2 de uma reta indica o quanto ela está inclinada em relação ao eixo x. Para encontrar a reta simétrica à reta em relação à reta , precisamos refletir a inclinação sobre .
A fórmula para a inclinação da reta refletida é:

Passo 5

Substituindo os valores das inclinações na fórmula:
mr = 4 e ms = 2
mr' = 2(2) - 4(1 - 2^2)1 + 2(2)(4) - 2^2
Calculando passo a passo:
  • Numerador:
2(2) - 4(1 - 4) = 4 - 4(-3) = 4 + 12 = 16
  • Denominador:
1 + 16 - 4 = 13
Então,
mr' = 1613

Passo 6

Agora que temos a inclinação da reta refletida, precisamos encontrar o intercepto 4x - y = 3 2x - y = -1 .
Para isso, vamos encontrar o ponto de interseção das retas (4x - y) - (2x - y) = 3 - (-1) Rightarrow 2x = 4 Rightarrow x = 2 e 2(2) - y = -1 Rightarrow 4 - y = -1 Rightarrow y = 5 , já que esse ponto estará na reta refletida .
Resolvendo o sistema:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Substituindo na segunda equação:
Então, o ponto de interseção é .

Passo 7

Sabendo que a reta refletida y = mr'x + b passa pelo ponto 5 = 1613(2) + b Rightarrow 5 = 3213 + b Rightarrow b = 5 - 3213 = 6513 - 3213 = 3313 e tem inclinação , podemos determinar o intercepto usando a equa��ão da reta:
Substituindo e :

Resposta

A reta simétrica à reta y = 1613x + 3313 em relação à reta é:

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