Determine a reta simétrica à reta em relação à reta , onde:
e .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar uma reta simétrica à reta em relação à reta . Estamos trabalhando com geometria analítica, e para resolver isso, precisamos usar conceitos de reflexão de retas.

Passo 2

Vamos começar identificando as equações das retas dadas:
  • Reta :
  • Reta :

Passo 3

Para facilitar o trabalho, vamos reescrever as equações das retas na forma explícita , onde é a inclinação e é o intercepto com o eixo y.
Para a reta :
Então, a inclinação .
Para a reta :
Então, a inclinação .

Passo 4

A inclinação de uma reta indica o quanto ela está inclinada em relação ao eixo x. Para encontrar a reta simétrica à reta em relação à reta , precisamos refletir a inclinação sobre .
A fórmula para a inclinação da reta refletida é:

Passo 5

Substituindo os valores das inclinações na fórmula:
Calculando passo a passo:
  • Numerador:
  • Denominador:
Então,

Passo 6

Agora que temos a inclinação da reta refletida, precisamos encontrar o intercepto .
Para isso, vamos encontrar o ponto de interseção das retas e , já que esse ponto estará na reta refletida .
Resolvendo o sistema:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Substituindo na segunda equação:
Então, o ponto de interseção é .

Passo 7

Sabendo que a reta refletida passa pelo ponto e tem inclinação , podemos determinar o intercepto usando a equa��ão da reta:
Substituindo e :

Resposta

A reta simétrica à reta em relação à reta é:

Exercícios relacionados

Verifique quais dos seguintes vetores pertencem ao espaço vetorial gerado por e . Justifique todas as suas respostas.
Determine o subespaço gerado pelos vetores de .
Use o produto misto e verifique se os vetores e são coplanares.
Os vetores e são perpendiculares entre si e o vetor é tal que . Sabendo-se que e , calcule o produto interno: .