Use o produto misto e verifique se os vetores a=i+j+3 k, b=2 i-j+5 k e c=4 i-3 j+k são coplanares.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar o produto misto para verificar se os vetores , e são coplanares. Coplanares significa que os três vetores estão no mesmo plano. Pra resolver isso, vamos precisar entender e calcular o produto misto desses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto misto. O produto misto de três vetores a cdot (b times c) = ax & ay & az bx & by & bz cx & cy & cz , e é dado pelo determinante da matriz formada por esses vetores. Matematicamente, é assim:
Se o resultado desse determinante for zero, significa que os vetores são coplanares.

Passo 3

Vamos montar a matriz com os componentes dos vetores:
1 & 1 & 3 2 & -1 & 5 4 & -3 & 1
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores, ficamos com:
1 cdot (-1 cdot 1 - 5 cdot (-3)) - 1 cdot (2 cdot 1 - 5 cdot 4) + 3 cdot (2 cdot (-3) - (-1) cdot 4)
Simplificando cada parte:
1 cdot (-1 + 15) - 1 cdot (2 - 20) + 3 cdot (-6 + 4)
1 cdot 14 - 1 cdot (-18) + 3 cdot (-2)
14 + 18 - 6 = 26

Resposta

Como o produto misto resultou em 26, que não é zero, os vetores , e não são coplanares.

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