Os vetores a e b são perpendiculares entre si e o vetor c é tal que (c, a)=60^circ e(c, b)=60^circ. Sabendo-se que |a|=3,|b|=5 e |c|=8, calcule o produto interno: (3 a-2 b) cdot(b+3 c).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que envolve produtos internos de vetores. Aqui, vamos trabalhar com conceitos de álgebra vetorial, como produto interno (ou dot product), vetores perpendiculares e o uso das magnitudes e ângulos entre vetores. Precisaremos aplicar a propriedade distributiva do produto interno e a fórmula que relaciona o produto interno com o ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o produto interno dado usando a propriedade distributiva:
(3 a - 2 b) cdot (b + 3 c) = 3a cdot b + 9a cdot c - 2b cdot b - 6b cdot c

Passo 3

Sabemos que os vetores a e b são perpendiculares, ou seja, o ângulo entre eles é 90^circ. O cosseno de 90^circ é zero, então:
a cdot b = |a| cdot |b| cdot cos(90^circ) = 3 cdot 5 cdot 0 = 0

Passo 4

Agora, vamos calcular a cdot c e b cdot c. Usamos a fórmula do produto interno em termos de magnitudes e ângulos:
a cdot c = |a| cdot |c| cdot cos(60^circ) = 3 cdot 8 cdot 12 = 12
b cdot c = |b| cdot |c| cdot cos(60^circ) = 5 cdot 8 cdot 12 = 20

Passo 5

Também precisamos calcular b cdot b, que é o quadrado da magnitude de b:
b cdot b = |b|^2 = 5^2 = 25

Passo 6

Agora, substituímos todos os valores encontrados na expressão expandida:
(3 a - 2 b) cdot (b + 3 c) = 3 cdot 0 + 9 cdot 12 - 2 cdot 25 - 6 cdot 20 = 0 + 108 - 50 - 120 = -62

Resposta

(3 a - 2 b) cdot (b + 3 c) = -62

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