Determine a(s) reta(s) tangente(s) ao gráfico da função
perpendiculares(s) à reta
dada:
.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado. Temos a função
, que é uma parábola, e queremos encontrar as retas tangentes a essa parábola que sejam perpendiculares à reta
, que é definida pela equação
. O conteúdo que estamos trabalhando aqui envolve derivadas e o conceito de reta tangente. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função
e a inclinação da reta
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a inclinação da reta
. Para isso, vamos transformar a equação dela em uma forma que nos permita ver a inclinação. A equação
pode ser rearranjada para encontrar
em função de
:
Dividindo todos os termos por 2, obtemos:
Agora, a inclinação da reta
é
. Para encontrar as retas tangentes que são perpendiculares a essa reta, devemos recordar que duas retas são perpendiculares se o produto de suas inclinações é
. Portanto, se a inclinação da reta
é
, a inclinação da reta tangente que estamos procurando será o inverso e oposto, ou seja,
.
Passo 3
Depois de encontrar a inclinação que queremos, vamos calcular a derivada da função
para determinar a inclinação da reta tangente à parábola. A derivada de
é dada por:
Precisamos encontrar os pontos onde a inclinação da reta tangente, dada pela derivada, é igual a
. Portanto, vamos resolver a equação:
Subtraindo
de ambos os lados, temos:
Dividindo ambos os lados por
, encontramos:
Passo 4
Agora que temos o valor de
, vamos encontrar o ponto correspondente na parábola. Para isso, substituímos
na função
:
Portanto, o ponto de tangência é
. Agora vamos usar esse ponto para encontrar a equação da reta tangente que passa por ele e tem inclinação
. Usando a fórmula da equação da reta:
onde
é o ponto de tangência e
é a inclinação. Substituindo os valores que temos:
ou seja,
Rearranjando, temos:
Resposta
A reta tangente à parábola
que é perpendicular à reta
é dada pela equação:
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Use a definição de derivada pra calcular a derivada de cada uma das funções no ponto indicado:
, em
.
Use a definição de derivada pra calcular a derivada de cada uma das funções no ponto indicado:
a) , em
.
a)
Expresse
em termos de
e
, onde
é uma função derivável dada implicitamente pela equação:
a) .
a)
Suponha que
seja uma função derivável e dada implicitamente pela equação
Mostre que
em todo
no domínio de
com
.