Determine a(s) reta(s) tangente(s) ao gráfico da função f(x) perpendiculares(s) à reta r dada:
f(x)=x^2+2 x-1 r: x+2 y-5=0.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado. Temos a função f(x) = x^2 + 2x - 1, que é uma parábola, e queremos encontrar as retas tangentes a essa parábola que sejam perpendiculares à reta r, que é definida pela equação x + 2y - 5 = 0. O conteúdo que estamos trabalhando aqui envolve derivadas e o conceito de reta tangente. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função f(x) e a inclinação da reta r.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a inclinação da reta r. Para isso, vamos transformar a equação dela em uma forma que nos permita ver a inclinação. A equação x + 2y - 5 = 0 pode ser rearranjada para encontrar y em função de x:
2y = -x + 5
Dividindo todos os termos por 2, obtemos:
y = -12x + 52
Agora, a inclinação da reta r é -12. Para encontrar as retas tangentes que são perpendiculares a essa reta, devemos recordar que duas retas são perpendiculares se o produto de suas inclinações é -1. Portanto, se a inclinação da reta r é -12, a inclinação da reta tangente que estamos procurando será o inverso e oposto, ou seja, 2.

Passo 3

Depois de encontrar a inclinação que queremos, vamos calcular a derivada da função f(x) para determinar a inclinação da reta tangente à parábola. A derivada de f(x) é dada por:
f'(x) = 2x + 2
Precisamos encontrar os pontos onde a inclinação da reta tangente, dada pela derivada, é igual a 2. Portanto, vamos resolver a equação:
2x + 2 = 2
Subtraindo 2 de ambos os lados, temos:
2x = 0
Dividindo ambos os lados por 2, encontramos:
x = 0

Passo 4

Agora que temos o valor de x, vamos encontrar o ponto correspondente na parábola. Para isso, substituímos x = 0 na função f(x):
f(0) = 0^2 + 2(0) - 1 = -1
Portanto, o ponto de tangência é (0, -1). Agora vamos usar esse ponto para encontrar a equação da reta tangente que passa por ele e tem inclinação 2. Usando a fórmula da equação da reta:
y - y0 = m(x - x0)
onde (x0, y0) é o ponto de tangência e m é a inclinação. Substituindo os valores que temos:
y - (-1) = 2(x - 0)
ou seja,
y + 1 = 2x
Rearranjando, temos:
y = 2x - 1

Resposta

A reta tangente à parábola f(x) = x^2 + 2x - 1 que é perpendicular à reta r: x + 2y - 5 = 0 é dada pela equação:
y = 2x - 1

Exercícios relacionados

Use a definição de derivada pra calcular a derivada de cada uma das funções no ponto indicado:
f(x)=x^2+x, em a=1.
Use a definição de derivada pra calcular a derivada de cada uma das funções no ponto indicado:
a) f(x)=5 x-3, em a=-3.
Expresse d yd x em termos de x e y, onde y=f(x) é uma função derivável dada implicitamente pela equação:
a) x e^y+x y=3.
Suponha que y=f(x) seja uma função derivável e dada implicitamente pela equação
x y^2+y+x=1
Mostre que f^prime(x)=-1-[f(x)]^22 x f(x)+1 em todo x no domínio de f com 2 x f(x)+1 neq 0.