Determine a(s) reta(s) tangente(s) ao gráfico da função perpendiculares(s) à reta dada:
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar as retas que são tangentes ao gráfico da função e que também sejam perpendiculares à reta dada por .
O que vamos precisar:
  • Noções de derivadas para encontrar a inclinação das retas tangentes.
  • Entender o que significa duas retas serem perpendiculares.
  • Manipulação de equações de reta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a inclinação da reta . Para isso, precisamos colocar a equação de na forma , onde é a inclinação.
Temos:
Isolando :
Então, a inclinação de é .

Passo 3

Sabemos que duas retas são perpendiculares se o produto de suas inclinações for . Se a inclinação da reta tangente é , então:
Portanto, a inclinação das retas tangentes que procuramos é .

Passo 4

Agora, vamos encontrar onde a derivada de é igual a , porque a derivada nos dá a inclinação da reta tangente a qualquer ponto da função.
Primeiro, calculamos :
Igualando a derivada a :
Então, temos dois pontos onde a inclinação da tangente é : e .

Passo 5

Vamos encontrar as coordenadas desses pontos substituindo e na função .
Para :
Então, o ponto é .
Para :
Então, o ponto é .

Passo 6

Agora, vamos escrever as equações das retas tangentes com inclinação que passam pelos pontos e .
A forma geral da equação da reta é:
Para :
Para :

Resposta

As retas tangentes ao gráfico de e perpendiculares à reta são:
e

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Derive:
.
Derive:
.
Use a derivação logarítmica para determinar :
.
Derive:
a) .