Determine a(s) reta(s) tangente(s) ao gráfico da função
perpendiculares(s) à reta
dada:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar as retas que são tangentes ao gráfico da função
e que também sejam perpendiculares à reta
dada por
.
O que vamos precisar:
- Noções de derivadas para encontrar a inclinação das retas tangentes.
- Entender o que significa duas retas serem perpendiculares.
- Manipulação de equações de reta.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a inclinação da reta
. Para isso, precisamos colocar a equação de
na forma
, onde
é a inclinação.
Temos:
Isolando
:
Então, a inclinação de
é
.
Passo 3
Sabemos que duas retas são perpendiculares se o produto de suas inclinações for
. Se a inclinação da reta tangente é
, então:
Portanto, a inclinação das retas tangentes que procuramos é
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar onde a derivada de
é igual a
, porque a derivada nos dá a inclinação da reta tangente a qualquer ponto da função.
Primeiro, calculamos
:
Igualando a derivada a
:
Então, temos dois pontos onde a inclinação da tangente é
:
e
.
Passo 5
Vamos encontrar as coordenadas desses pontos substituindo
e
na função
.
Para
:
Então, o ponto é
.
Para
:
Então, o ponto é
.
Passo 6
Agora, vamos escrever as equações das retas tangentes com inclinação
que passam pelos pontos
e
.
A forma geral da equação da reta é:
Para
:
Para
:
Resposta
As retas tangentes ao gráfico de
e perpendiculares à reta
são:
e
Exercícios relacionados
Derive:
.
Derive:
.
Use a derivação logarítmica para determinar
:
.
Derive:
a) .
a)