Use a derivação logarítmica para determinar d/y d/x :
f(x) = (cos(x))^(e^x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa achar a sua derivada . Isso está dentro do ramo do Cálculo, mais especificamente sobre Derivação Logarítmica. A derivação logarítmica é útil quando a função tem uma variável no expoente, como é o caso aqui. Para resolver, vamos precisar usar propriedades dos logaritmos e regras de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar nossa função de :

Passo 3

Agora, vamos aplicar o logaritmo natural (ln) dos dois lados para simplificar:

Passo 4

Usando a propriedade dos logaritmos que diz , podemos reescrever:

Passo 5

Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a . Lembre-se que é uma função de , então usaremos a regra da cadeia no lado esquerdo:

Passo 6

Vamos calcular as derivadas individuais:
Substituindo de volta:

Passo 7

Finalmente, isolamos :
Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A derivada de é:

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