Determine a reta tangente em
para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a reta tangente à função
no ponto onde
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas, que fazem parte do cálculo diferencial. A derivada vai nos ajudar a encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma reta tangente. A reta tangente a uma função em um ponto é a reta que “toca” a função nesse ponto e tem a mesma inclinação que a função naquele instante. Para encontrar essa reta, precisamos de dois elementos:
- O valor da função no ponto
, ou seja, . - A inclinação da reta tangente nesse ponto, que é dada pela derivada da função em
, ou seja, .
Passo 3
Vamos calcular
:
Substituindo
por
:
Sabemos que
. Então:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada da função
. Para isso, precisamos aplicar a regra do produto, que diz que se temos uma função
multiplicada por
, a derivada é:
Aqui,
e
.
Primeiro, calculamos as derivadas:
Então:
Passo 5
Agora, vamos substituir
na derivada para encontrar
:
Sabemos que:
Portanto:
Passo 6
Agora que temos
e
, podemos montar a equação da reta tangente. A fórmula geral da reta tangente em
é:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A reta tangente à função
no ponto
é
.