Determine a reta tangente em x = 2 pi para f(x) = x sec(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a reta tangente à função no ponto onde . Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas, que fazem parte do cálculo diferencial. A derivada vai nos ajudar a encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma reta tangente. A reta tangente a uma função em um ponto é a reta que “toca” a função nesse ponto e tem a mesma inclinação que a função naquele instante. Para encontrar essa reta, precisamos de dois elementos:
  1. O valor da função no ponto , ou seja, .
  2. A inclinação da reta tangente nesse ponto, que é dada pela derivada da função em , ou seja, .

Passo 3

Vamos calcular :
Substituindo por :
Sabemos que . Então:
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada da função . Para isso, precisamos aplicar a regra do produto, que diz que se temos uma função multiplicada por , a derivada é:
Aqui, e .
Primeiro, calculamos as derivadas:
Então:

Passo 5

Agora, vamos substituir na derivada para encontrar :
Sabemos que:
Portanto:

Passo 6

Agora que temos e , podemos montar a equação da reta tangente. A fórmula geral da reta tangente em é:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A reta tangente à função no ponto é .

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