Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na equação que você me mandou:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem. Isso significa que vamos precisar encontrar uma solução geral que combina a solução da equação homogênea (quando o lado direito é zero) e uma solução particular que considera o termo não homogêneo, que nesse caso é
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, encontramos a equação característica. Substituímos
por
, o que nos dá:
Resolvendo essa equação quadrática, temos:
Então, temos uma raiz dupla
.
Passo 3
Com a raiz dupla
, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se disponíveis.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Como o lado direito é
, que não é uma função polinomial, exponencial, seno ou cosseno padrão, vamos usar o método de Variação dos Parâmetros.
Passo 5
Para aplicar a variação dos parâmetros, primeiro identificamos as soluções da equação homogênea:
e
.
A fórmula para a solução particular é:
Onde
e
é o Wronskiano das soluções
e
.
Passo 6
Calculando o Wronskiano
:
$$W =
= e{t}(e{t} + te^{t}) - te^{t} \cdot e^{t} = e^{2t} + te^{2t} - te^{2t} = e^{2t}
$$
Passo 7
Substituindo na fórmula da solução particular:
Simplificando:
Passo 8
Vamos resolver as integrais:
- Para a primeira integral:
Fazendo
- Para a segunda integral:
Passo 9
Substituindo de volta:
Passo 10
Finalmente, juntando a solução homogênea e a solução particular, a solução geral da equação diferencial é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde