y'' - 2y' + y = e^t / (1 + t^2)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na equação que você me mandou:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem. Isso significa que vamos precisar encontrar uma solução geral que combina a solução da equação homogênea (quando o lado direito é zero) e uma solução particular que considera o termo não homogêneo, que nesse caso é .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, encontramos a equação característica. Substituímos y por , o que nos dá:
Resolvendo essa equação quadrática, temos:
Então, temos uma raiz dupla .

Passo 3

Com a raiz dupla , a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, C1 e C2 são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se disponíveis.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa:
Como o lado direito é , que não é uma função polinomial, exponencial, seno ou cosseno padrão, vamos usar o método de Variação dos Parâmetros.

Passo 5

Para aplicar a variação dos parâmetros, primeiro identificamos as soluções da equação homogênea: e .
A fórmula para a solução particular é:
Onde e W é o Wronskiano das soluções y1 e y2.

Passo 6

Calculando o Wronskiano W:
$$W =


= e{t}(e{t} + te^{t}) - te^{t} \cdot e^{t} = e^{2t} + te^{2t} - te^{2t} = e^{2t}
$$

Passo 7

Substituindo na fórmula da solução particular:
Simplificando:

Passo 8

Vamos resolver as integrais:
  1. Para a primeira integral:

Fazendo , , então:
  1. Para a segunda integral:

Passo 9

Substituindo de volta:

Passo 10

Finalmente, juntando a solução homogênea e a solução particular, a solução geral da equação diferencial é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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