Determine o rotacional e o divergente do campo indicado:
b) F(x, y, z) = x^2 sen(y z) i + z cos(x z^3) j + y e^(5 x y) k

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar o rotacional e o divergente do campo vetorial dado. Aqui estamos trabalhando com Cálculo Vetorial, especificamente com divergente e rotacional de um campo vetorial. Para isso, vamos precisar usar as definições e fórmulas dessas operações, além de derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes do campo vetorial :
Onde:

Passo 3

Vamos calcular o divergente primeiro. A divergente de é dada por:
Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
Pois não depende de .
  1. Derivada de em relação a :
Pois não depende de .
Agora, somando todas as derivadas:

Passo 4

Agora, vamos calcular o rotacional de . O rotacional é dado por:
Vamos calcular cada termo:
  1. Componente :
Portanto:
  1. Componente :
Portanto:
  1. Componente :
Portanto:

Passo 5

Agora, juntando todas as componentes do rotacional:

Resposta

O divergente do campo é:
E o rotacional de é:

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