Determine o rotacional e o divergente do campo indicado:
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar o rotacional e o divergente do campo vetorial dado. Aqui estamos trabalhando com Cálculo Vetorial, especificamente com divergente e rotacional de um campo vetorial. Para isso, vamos precisar usar as definições e fórmulas dessas operações, além de derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes do campo vetorial
:
Onde:
Passo 3
Vamos calcular o divergente primeiro. A divergente de
é dada por:
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Pois
não depende de
.
- Derivada de
em relação a :
Pois
não depende de
.
Agora, somando todas as derivadas:
Passo 4
Agora, vamos calcular o rotacional de
. O rotacional é dado por:
Vamos calcular cada termo:
- Componente
:
Portanto:
- Componente
:
Portanto:
- Componente
:
Portanto:
Passo 5
Agora, juntando todas as componentes do rotacional:
Resposta
O divergente do campo
é:
E o rotacional de
é:
Exercícios relacionados
Faça o gráfico de alguns vetores representativos do campo vetorial indicado:
c)
c)
Seja
o retângulo, em
, com vértices
e
, com orientação anti-horária. Calcule:
a)
a)
Seja
a elipse, em
, com equação
. Determine o trabalho realizado pela força
quando atua em um objeto que se move sobre
no sentido anti-horário, saindo do ponto
e retornando ao ponto
.
Faça o gráfico de alguns vetores representativos do campo vetorial indicado:
a)
a)