Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial dado: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o rotacional e o divergente do campo vetorial dado: . Esse problema faz parte do conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente trabalhando com operações de divergente e rotacional. Para isso, vamos precisar lembrar das fórmulas dessas operações e como aplicá-las passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o divergente do campo vetorial . O divergente é uma medida de quanto o campo está “espalhando” ou “contraindo” em um ponto. A fórmula para o divergente de é:
No nosso caso, , então:
  • (porque não tem componente )
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Então, o divergente fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional do campo vetorial . O rotacional nos mostra a tendência do campo de girar ao redor de um ponto. A fórmula para o rotacional de é:
Vamos calcular cada componente:
Agora, substituindo na fórmula do rotacional:

Resposta

O divergente de é e o rotacional de é .

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Mostre que qualquer campo vetorial da forma , onde são diferenciáveis, é incompressível.
Determine os valores máximos e mínimos da função: