Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial dado:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o rotacional e o divergente do campo vetorial dado:
. Esse problema faz parte do conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente trabalhando com operações de divergente e rotacional. Para isso, vamos precisar lembrar das fórmulas dessas operações e como aplicá-las passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o divergente do campo vetorial
. O divergente é uma medida de quanto o campo está “espalhando” ou “contraindo” em um ponto. A fórmula para o divergente de
é:
No nosso caso,
, então:
-
-
(porque não tem componente ) -
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Então, o divergente fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular o rotacional do campo vetorial
. O rotacional nos mostra a tendência do campo de girar ao redor de um ponto. A fórmula para o rotacional de
é:
Vamos calcular cada componente:
Agora, substituindo na fórmula do rotacional:
Resposta
O divergente de
é
e o rotacional de
é
.
Exercícios relacionados
Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial dado:
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Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial dado:
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Mostre que qualquer campo vetorial da forma
, onde
são diferenciáveis, é incompressível.
Determine os valores máximos e mínimos da função: