Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial dado:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar o rotacional e o divergente do campo vetorial dado:
Vamos precisar usar as fórmulas de divergente e rotacional da matéria de cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o divergente (
). A fórmula para o divergente de um campo vetorial
é:
No nosso caso:
Passo 3
Vamos calcular cada derivada parcial:
Passo 4
Agora, somando essas derivadas parciais para obter o divergente:
Passo 5
Agora, vamos calcular o rotacional (
). A fórmula para o rotacional é dada pelo determinante:
Vamos expandir esse determinante.
Passo 6
Calculando cada componente:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Resposta
O rotacional do campo vetorial é:
E o divergente do campo vetorial é: