Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial dado: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar o rotacional e o divergente do campo vetorial dado:
Vamos precisar usar as fórmulas de divergente e rotacional da matéria de cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o divergente ( ). A fórmula para o divergente de um campo vetorial é:
No nosso caso:

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial:

Passo 4

Agora, somando essas derivadas parciais para obter o divergente:

Passo 5

Agora, vamos calcular o rotacional ( ). A fórmula para o rotacional é dada pelo determinante:
Vamos expandir esse determinante.

Passo 6

Calculando cada componente:
  • Componente :
  • Componente :
  • Componente :

Resposta

O rotacional do campo vetorial é:
E o divergente do campo vetorial é:

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