Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial dado:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar o rotacional e o divergente do campo vetorial dado:
Vamos precisar usar as fórmulas de divergente e rotacional da matéria de cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o divergente (
). A fórmula para o divergente de um campo vetorial
é:
No nosso caso:
Passo 3
Vamos calcular cada derivada parcial:
Passo 4
Agora, somando essas derivadas parciais para obter o divergente:
Passo 5
Agora, vamos calcular o rotacional (
). A fórmula para o rotacional é dada pelo determinante:
Vamos expandir esse determinante.
Passo 6
Calculando cada componente:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Resposta
O rotacional do campo vetorial é:
E o divergente do campo vetorial é:
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Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial dado:
.
Verifique o Teorema de Grenn usando um sistema algébrico computacional (Symbolab, Wolfram-alpha, Geogebra) para calcular tanto a integral de linha quanto a integral dupla.
: é a circunferência
.
Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial dado:
.
Mostre que qualquer campo vetorial da forma
, onde
são diferenciáveis, é incompressível.