Faça um esboço e calcule a área das regiões delimitadas pelos gráficos das seguintes funções:
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente esboçar e calcular a área das regiões delimitadas pelos gráficos das funções
e
. Isso envolve entender um pouco de funções quadráticas e como elas se comportam no gráfico, além de calcular integrais para achar a área entre as curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Essa é uma parábola que abre para a esquerda porque o coeficiente de
é negativo. Para esboçar o gráfico, podemos encontrar alguns pontos-chave.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos onde
intercepta o eixo
, ou seja, onde
.
Substituindo
na equação:
Então, um ponto de interseção é (0, 0).
Passo 4
Agora, vamos encontrar os outros pontos de interseção entre
e
. Já vimos que quando
,
. Para achar outro ponto, podemos resolver a equação para
.
Quando
,
. Agora, para achar o valor de
onde a parábola cruza o eixo
, já vimos que é em
. Parece que há apenas um ponto de interseção.
Passo 5
Para calcular a área, precisamos determinar entre quais valores de
a parábola está delimitando a região com
. Vamos encontrar onde a parábola cruza o eixo
.
Resolvendo
para
:
Então, os limites de integração para
são de 0 a 3.
Passo 6
Agora, para encontrar a área, vamos integrar a função
em relação a
de 0 a 3.
A fórmula para a área
é:
Passo 7
Vamos calcular a integral:
Substituindo os limites:
Resposta
A área das regiões delimitadas pelos gráficos das funções
e
é 4,5 unidades de área.
Exercícios relacionados
Calcule a inversa das funções abaixo (considere que são funções de
em
, exceto o item e) ).
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
f) .
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial:
Se
, calcule o valor de
.