Faça um esboço e calcule a área das regiões delimitadas pelos gráficos das seguintes funções:
(e)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente esboçar e calcular a área das regiões delimitadas pelos gráficos das funções e . Isso envolve entender um pouco de funções quadráticas e como elas se comportam no gráfico, além de calcular integrais para achar a área entre as curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Essa é uma parábola que abre para a esquerda porque o coeficiente de é negativo. Para esboçar o gráfico, podemos encontrar alguns pontos-chave.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos onde intercepta o eixo , ou seja, onde .
Substituindo na equação:
Então, um ponto de interseção é (0, 0).

Passo 4

Agora, vamos encontrar os outros pontos de interseção entre e . Já vimos que quando , . Para achar outro ponto, podemos resolver a equação para .
Quando , . Agora, para achar o valor de onde a parábola cruza o eixo , já vimos que é em . Parece que há apenas um ponto de interseção.

Passo 5

Para calcular a área, precisamos determinar entre quais valores de a parábola está delimitando a região com . Vamos encontrar onde a parábola cruza o eixo .
Resolvendo para :
Então, os limites de integração para são de 0 a 3.

Passo 6

Agora, para encontrar a área, vamos integrar a função em relação a de 0 a 3.
A fórmula para a área é:

Passo 7

Vamos calcular a integral:
Substituindo os limites:

Resposta

A área das regiões delimitadas pelos gráficos das funções e é 4,5 unidades de área.

Exercícios relacionados

Calcule a inversa das funções abaixo (considere que são funções de em , exceto o item e) ).
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
f) .
Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial:
Se , calcule o valor de .