(a) Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o rotacional e o divergente do campo vetorial
. Isso tá relacionado a cálculo vetorial, especificamente às operações de rotacional (também conhecido como curl) e divergente. Pra isso, vamos precisar lembrar das fórmulas dessas operações e como aplicar derivadas parciais nas componentes do campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o rotacional de
. O rotacional, ou curl, de um campo vetorial
é dado por:
Vamos identificar
,
e
no nosso campo vetorial:
Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais:
Agora, substituindo na fórmula do rotacional:
Passo 3
Agora, vamos calcular o divergente de
. O divergente de um campo vetorial
é dado por:
Vamos calcular cada derivada parcial:
Somando tudo:
Resposta
Assim, o rotacional de
é:
E o divergente de
é: