(a) Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial F(x, y, z) = x * e^(y * z) * i + y * e^(x * z) * j + z * e^(x * y) * k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o rotacional e o divergente do campo vetorial F(x, y, z) = x * e^(y * z) * i + y * e^(x * z) * j + z * e^(x * y) * k. Isso tá relacionado a cálculo vetorial, especificamente às operações de rotacional (também conhecido como curl) e divergente. Pra isso, vamos precisar lembrar das fórmulas dessas operações e como aplicar derivadas parciais nas componentes do campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional de F. O rotacional, ou curl, de um campo vetorial é dado por:
Vamos identificar P, Q e R no nosso campo vetorial:
Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais:
Agora, substituindo na fórmula do rotacional:

Passo 3

Agora, vamos calcular o divergente de F. O divergente de um campo vetorial é dado por:
Vamos calcular cada derivada parcial:
Somando tudo:

Resposta

Assim, o rotacional de F é:
E o divergente de F é:

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