Esboce o campo vetorial desenhando os vetores em, pelo menos, dez pontos diferentes: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente esboçar um campo vetorial definido pela função . Isso significa que, em cada ponto do plano, temos um vetor que aponta na direção de . Para fazer isso, vamos precisar escolher pelo menos dez pontos diferentes no plano e desenhar os vetores correspondentes a cada um desses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher dez pontos diferentes para analisar. Vou selecionar pontos que ficam em diferentes posições no plano para ter uma boa ideia de como o campo vetorial se comporta. Por exemplo:

Passo 3

Agora, para cada um desses pontos, vamos calcular o vetor usando a fórmula dada: . Isso significa que o vetor em cada ponto será simplesmente as coordenadas do ponto.
Vamos calcular:
  1. Em :
  2. Em :
  3. Em :
  4. Em :
  5. Em :
  6. Em :
  7. Em :
  8. Em :
  9. Em :
  10. Em :

Passo 4

Com esses vetores calculados, o próximo passo é desenhar cada um desses vetores no ponto correspondente no plano cartesiano. Por exemplo:
  • No ponto , desenhe um vetor que parte de e vai até , já que o vetor é .
  • No ponto , desenhe um vetor que parte de e vai até , já que o vetor é .
  • E assim por diante para os outros pontos.
Isso vai te dar uma ideia visual de como os vetores se comportam no campo.

Passo 5

Observando os vetores que desenhamos, você vai perceber que todos eles apontam para fora da origem, e a sua magnitude aumenta à medida que nos afastamos do centro. Isso acontece porque a função é um campo vetorial linear que cresce proporcionalmente às coordenadas e .

Resposta

Então, ao esboçar o campo vetorial nos dez pontos escolhidos, você verá que os vetores se espalham uniformemente para fora da origem, com direções alinhadas com os pontos escolhidos e magnitudes proporcionais às suas coordenadas. Esse padrão mostra um campo vetorial linear crescente em todas as direções a partir da origem.

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6,5 5,2 7,6 6,2 7,6 6,9 7,1 6,0
7,2 7,7 7,3 6,6 7,1 7,8 7,0 5,5
7,6 6,7 6,8 6,5 7,2 5,8 8,6 6,9
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b) Assumindo que a população tem distribuição normal, estime um intervalo de confiança de para o número médio de horas de sono por noite para a população. Resposta:
é a séries harmônica, i.e.,
Utilize indução matemática para justificar a seguinte desigualdade: