Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial tridimensional .
.

Passo 1

Então, a gente tem um campo vetorial tridimensional dado por . A tarefa é encontrar o rotacional (também conhecido como curl) e o divergente desse campo. Para resolver isso, vamos precisar usar as fórmulas de divergente e rotacional da matéria de Cálculo Vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o divergente de . O divergente de um campo vetorial é dado por:
No nosso caso, , (já que não tem componente ) e .

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial:
Agora, somando essas derivadas:

Passo 4

Agora, vamos calcular o rotacional de . O rotacional de um campo vetorial é dado por:
Novamente, , e .

Passo 5

Vamos calcular cada termo do rotacional:
Agora, substituindo na fórmula do rotacional:
Simplificando:

Resposta

O divergente de é e o rotacional de é .

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Faça um esboço do campo vetorial dado:
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