Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial tridimensional
.
.
Passo 1
Então, a gente tem um campo vetorial tridimensional dado por
. A tarefa é encontrar o rotacional (também conhecido como curl) e o divergente desse campo. Para resolver isso, vamos precisar usar as fórmulas de divergente e rotacional da matéria de Cálculo Vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o divergente de
. O divergente de um campo vetorial
é dado por:
No nosso caso,
,
(já que não tem componente
) e
.
Passo 3
Vamos calcular cada derivada parcial:
Agora, somando essas derivadas:
Passo 4
Agora, vamos calcular o rotacional de
. O rotacional de um campo vetorial
é dado por:
Novamente,
,
e
.
Passo 5
Vamos calcular cada termo do rotacional:
Agora, substituindo na fórmula do rotacional:
Simplificando:
Resposta
O divergente de
é
e o rotacional de
é
.
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Faça um esboço do campo vetorial dado:
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