Faça um esboço do campo vetorial dado:
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Passo 1

Beleza, o exercício está pedindo para a gente fazer um esboço do campo vetorial . Isso faz parte do estudo de campos vetoriais, que são como mapas mostrando vetores em cada ponto do plano. Vamos precisar entender como esses vetores se comportam nas direções e para conseguir desenhar o campo direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no que significa. Aqui, é uma função que recebe dois números, e , e devolve um vetor. Esse vetor tem duas componentes: a primeira é e a segunda é . Quer dizer que, para qualquer ponto , o vetor terá zero na direção e na direção .

Passo 3

Agora, vamos interpretar isso. Como a componente em é sempre , os vetores não vão ter nenhuma parte horizontal. Eles vão apontar só para cima ou para baixo, dependendo do valor de . Se for positivo, o vetor aponta pra cima; se for negativo, aponta pra baixo.

Passo 4

Além disso, o tamanho do vetor na direção depende do valor de . Ou seja, quanto maior o valor absoluto de , maior o comprimento do vetor. Por exemplo, se , o vetor terá comprimento 2 na direção ; se , terá comprimento 3, mas apontando para baixo.

Passo 5

Então, para esboçar o campo, a gente pode escolher alguns pontos no plano e desenhar os vetores correspondentes:
  • No ponto , o vetor é , apontando para cima com comprimento 1.
  • No ponto , o vetor é , apontando para baixo com comprimento 2.
  • No ponto , o vetor é , que na verdade não tem direção nem comprimento.

Resposta

O esboço do campo vetorial consiste em vetores verticais que apontam para cima quando é positivo e para baixo quando é negativo. O comprimento de cada vetor é proporcional ao valor de . Assim, em cada ponto , o vetor é , mostrando apenas movimento na direção sem componente na direção .

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Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial tridimensional .
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Faça um esboço do campo vetorial dado:
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