Faça um esboço do campo vetorial dado:
.
Passo 1
Beleza, o exercício está pedindo para a gente fazer um esboço do campo vetorial
. Isso faz parte do estudo de campos vetoriais, que são como mapas mostrando vetores em cada ponto do plano. Vamos precisar entender como esses vetores se comportam nas direções
e
para conseguir desenhar o campo direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no que
significa. Aqui,
é uma função que recebe dois números,
e
, e devolve um vetor. Esse vetor tem duas componentes: a primeira é
e a segunda é
. Quer dizer que, para qualquer ponto
, o vetor
terá zero na direção
e
na direção
.
Passo 3
Agora, vamos interpretar isso. Como a componente em
é sempre
, os vetores não vão ter nenhuma parte horizontal. Eles vão apontar só para cima ou para baixo, dependendo do valor de
. Se
for positivo, o vetor aponta pra cima; se for negativo, aponta pra baixo.
Passo 4
Além disso, o tamanho do vetor na direção
depende do valor de
. Ou seja, quanto maior o valor absoluto de
, maior o comprimento do vetor. Por exemplo, se
, o vetor terá comprimento 2 na direção
; se
, terá comprimento 3, mas apontando para baixo.
Passo 5
Então, para esboçar o campo, a gente pode escolher alguns pontos no plano e desenhar os vetores correspondentes:
- No ponto
, o vetor é , apontando para cima com comprimento 1. - No ponto
, o vetor é , apontando para baixo com comprimento 2. - No ponto
, o vetor é , que na verdade não tem direção nem comprimento.
Resposta
O esboço do campo vetorial
consiste em vetores verticais que apontam para cima quando
é positivo e para baixo quando
é negativo. O comprimento de cada vetor é proporcional ao valor de
. Assim, em cada ponto
, o vetor é
, mostrando apenas movimento na direção
sem componente na direção
.
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Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial tridimensional
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Faça um esboço do campo vetorial dado:
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