Determine o rotacional e o divergente dos campos abaixo.
F(x, y, z) = (raiz(x) / (1 + z), raiz(y) / (1 + x), raiz(z) / (1 + y))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar o rotacional e o divergente do campo vetorial dado:
Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Vetorial, especificamente as operações de rotacional e divergente. Vamos precisar calcular derivadas parciais das componentes do campo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional de . O rotacional, denotado por , é dado pela seguinte fórmula:
Vamos calcular cada componente:
  1. (já que não depende de )
Então, a primeira componente do rotacional é:
  1. (já que não depende de )
Então, a segunda componente do rotacional é:
  1. (já que não depende de )
Então, a terceira componente do rotacional é:
Portanto, o rotacional de é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o divergente de . O divergente, denotado por , é dado pela seguinte fórmula:
Vamos calcular cada derivada parcial:
Somando todas as derivadas, o divergente é:

Resposta

O rotacional de é:
E o divergente de é:

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