Determine o rotacional e o divergente dos campos abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar o rotacional e o divergente do campo vetorial dado:
Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Vetorial, especificamente as operações de rotacional e divergente. Vamos precisar calcular derivadas parciais das componentes do campo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o rotacional de
. O rotacional, denotado por
, é dado pela seguinte fórmula:
Vamos calcular cada componente:
-
-
(já que não depende de )
Então, a primeira componente do rotacional é:
-
-
(já que não depende de )
Então, a segunda componente do rotacional é:
-
-
(já que não depende de )
Então, a terceira componente do rotacional é:
Portanto, o rotacional de
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o divergente de
. O divergente, denotado por
, é dado pela seguinte fórmula:
Vamos calcular cada derivada parcial:
Somando todas as derivadas, o divergente é:
Resposta
O rotacional de
é:
E o divergente de
é: