Seja uma função vetorial e um campo vetorial. Diga se cada expressão abaixo tem significado. Em caso negativo, justifique sua resposta, em caso afirmativo, diga se o resultado é um campo vetorial ou escalar.
Passo 1
Então, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma expressão matemática chamada , onde é um campo vetorial. Nosso objetivo é descobrir se essa expressão faz sentido no contexto do cálculo vetorial. Se fizer, precisamos descobrir se o resultado é um campo vetorial ou um escalar. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são o gradiente ( ) e a divergência ( ) e como eles interagem.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a divergência de um campo vetorial. A divergência, , é uma operação que toma um campo vetorial e retorna um campo escalar. Ela mede a "taxa de saída" de um campo em um ponto, basicamente dizendo se há mais fluxo saindo ou entrando naquele ponto.
Passo 3
Agora que sabemos que resulta em um escalar, vamos olhar para o gradiente, . O gradiente é uma operação que toma um campo escalar e retorna um campo vetorial, apontando na direção de maior aumento do escalar.
Passo 4
Então, voltando à expressão original : primeiro calculamos a divergência de , que nos dá um escalar, e depois aplicamos o gradiente a esse escalar. Como o gradiente de um escalar resulta em um vetor, a expressão completa será um campo vetorial.
Resposta
A expressão tem significado e o resultado é um campo vetorial.
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