Seja r uma função vetorial e F um campo vetorial. Diga se cada expressão abaixo tem significado. Em caso negativo, justifique sua resposta, em caso afirmativo, diga se o resultado é um campo vetorial ou escalar.
Grad(Div(f))

Passo 1

Então, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma expressão matemática chamada Grad(Div(f)), onde f é um campo vetorial. Nosso objetivo é descobrir se essa expressão faz sentido no contexto do cálculo vetorial. Se fizer, precisamos descobrir se o resultado é um campo vetorial ou um escalar. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são o gradiente ( ) e a divergência ( ) e como eles interagem.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a divergência de um campo vetorial. A divergência, Div(f), é uma operação que toma um campo vetorial e retorna um campo escalar. Ela mede a “taxa de saída” de um campo em um ponto, basicamente dizendo se há mais fluxo saindo ou entrando naquele ponto.

Passo 3

Agora que sabemos que Div(f) resulta em um escalar, vamos olhar para o gradiente, . O gradiente é uma operação que toma um campo escalar e retorna um campo vetorial, apontando na direção de maior aumento do escalar.

Passo 4

Então, voltando à expressão original Grad(Div(f)): primeiro calculamos a divergência de f, que nos dá um escalar, e depois aplicamos o gradiente a esse escalar. Como o gradiente de um escalar resulta em um vetor, a expressão completa Grad(Div(f)) será um campo vetorial.

Resposta

A expressão Grad(Div(f)) tem significado e o resultado é um campo vetorial.

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