Encontre as séries de Maclaurin das funções abaixo usando a definição.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a série de Maclaurin da função
usando a definição. A série de Maclaurin é uma forma de representar funções como somas infinitas de potências de
. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição da série de Maclaurin e calcular as derivadas da função
avaliadas em
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da série de Maclaurin. Ela é dada por:
Aqui,
representa a
-ésima derivada de
avaliada em
, e
é o fatorial de
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
. Vamos precisar das derivadas até uma certa ordem para identificar o padrão.
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
- Terceira derivada:
- Quarta derivada:
E assim por diante. Observamos que as derivadas alternam entre cosseno e seno, e os coeficientes aumentam em potências de 3.
Passo 4
Vamos agora avaliar essas derivadas em
:
Percebemos que as derivadas de ordem ímpar avaliam para zero, e as de ordem par seguem um padrão.
Passo 5
Vamos inserir esses valores na definição da série de Maclaurin:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão geral. Observando o padrão, podemos expressar a série como:
Aqui,
começa em 0 e vai até o infinito, representando todos os termos da série.
Resposta
A série de Maclaurin da função
é:
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