Encontre as séries de Maclaurin das funções abaixo usando a definição. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a série de Maclaurin da função usando a definição. A série de Maclaurin é uma forma de representar funções como somas infinitas de potências de . Para resolver isso, vamos precisar usar a definição da série de Maclaurin e calcular as derivadas da função avaliadas em .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da série de Maclaurin. Ela é dada por:
Aqui, representa a -ésima derivada de avaliada em , e é o fatorial de .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de . Vamos precisar das derivadas até uma certa ordem para identificar o padrão.
  1. Primeira derivada:
  1. Segunda derivada:
  1. Terceira derivada:
  1. Quarta derivada:
E assim por diante. Observamos que as derivadas alternam entre cosseno e seno, e os coeficientes aumentam em potências de 3.

Passo 4

Vamos agora avaliar essas derivadas em :
Percebemos que as derivadas de ordem ímpar avaliam para zero, e as de ordem par seguem um padrão.

Passo 5

Vamos inserir esses valores na definição da série de Maclaurin:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão geral. Observando o padrão, podemos expressar a série como:
Aqui, começa em 0 e vai até o infinito, representando todos os termos da série.

Resposta

A série de Maclaurin da função é:

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