Seja uma função vetorial e um campo vetorial. Diga se cada expressão abaixo tem significado. Em caso negativo, justifique sua resposta, em caso afirmativo, diga se o resultado é um campo vetorial ou escalar.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a expressão , onde é um campo vetorial. A matéria que estamos usando aqui é cálculo vetorial, especificamente o conceito de divergência. Para resolver, vamos precisar entender o que é divergência e como ela funciona quando aplicada a campos vetoriais e escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é divergência. A divergência de um campo vetorial , denotada por , é uma operação que resulta em um escalar. Ela mede a “taxa de expansão” do campo em cada ponto. Matematicamente, para um campo , a divergência é dada por:

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão que o exercício propõe: . Primeiro, aplicamos a divergência em , que nos dá um escalar, como vimos. Em seguida, tentamos aplicar a divergência novamente nesse resultado escalar.

Passo 4

Aqui entra a pegadinha: a divergência é uma operação que só faz sentido quando aplicada a campos vetoriais, não a escalares. Ou seja, não podemos aplicar em um escalar, porque a definição de divergência requer um campo vetorial como entrada.

Resposta

A expressão não tem significado, pois a divergência de um campo vetorial resulta em um escalar, e não é possível aplicar a divergência a um escalar.

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Seja uma função vetorial e um campo vetorial. Diga se cada expressão abaixo tem significado. Em caso negativo, justifique sua resposta, em caso afirmativo, diga se o resultado é um campo vetorial ou escalar.
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