Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais. integralC F cdot d s, onde F é o campo vetorial em R^2 dado por F(x, y)=(1+cosh y, x sinh y) e a curva C é dada por sigma(t)=(sin t, 2 t / pi), 0 <= t <= pi / 2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Precisamos calcular uma integral de linha do campo vetorial ao longo da curva definida por para entre e . Para resolver isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha, que nos ajuda a simplificar o cálculo se o campo vetorial for conservativo.

Passo 2

Vamos verificar se o campo vetorial partial phipartial x = 1 + cosh y e partial phipartial y = x sinh y é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial tal que . Isso significa que:

Passo 3

Integramos a primeira equação em relação a phi(x, y) = integral (1 + cosh y) , dx = x + x cosh y + g(y) para encontrar :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 4

Agora, derivamos partial phipartial y = x sinh y + g'(y) = x sinh y em relação a e igualamos à segunda componente de :
Isso implica que , ou seja, é uma constante. Para simplificar, podemos considerar .

Passo 5

Então, a função potencial é:
phi(x, y) = x + x cosh y
Com isso, o campo é realmente conservativo.

Passo 6

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha, a integral é igual à diferença do potencial nos pontos finais da curva .

Passo 7

Vamos encontrar os pontos inicial e final da curva sigma(0) = (sin 0, 2 times 0pi) = (0, 0) :
  • Quando sigma(pi2) = (sin(pi2), 2 times pi2pi) = (1, 1) :
  • Quando :

Passo 8

Calculamos o potencial nos pontos finais:
phi(1, 1) = 1 + 1 cosh(1) = 1 + cosh(1)
phi(0, 0) = 0 + 0 cosh(0) = 0

Resposta

Portanto, a integral de linha é:
integralC F cdot ds = phi(1, 1) - phi(0, 0) = 1 + cosh(1)

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