Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
, onde
é o campo vetorial em
dado por
e a curva
é dada por
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Precisamos calcular uma integral de linha do campo vetorial
ao longo da curva
definida por
para
entre
e
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha, que nos ajuda a simplificar o cálculo se o campo vetorial for conservativo.
Passo 2
Vamos verificar se o campo vetorial
é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial
tal que
. Isso significa que:
Passo 3
Integramos a primeira equação em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 4
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos à segunda componente de
:
Isso implica que
, ou seja,
é uma constante. Para simplificar, podemos considerar
.
Passo 5
Então, a função potencial é:
Com isso, o campo
é realmente conservativo.
Passo 6
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha, a integral
é igual à diferença do potencial nos pontos finais da curva
.
Passo 7
Vamos encontrar os pontos inicial e final da curva
:
-
Quando
: -
Quando
:
Passo 8
Calculamos o potencial nos pontos finais:
Resposta
Portanto, a integral de linha é: