Determine f(x) sabendo que f'(x) = 3*x^3 + 7/2*x^(-1/2) - e^x e f(1) = 20 - e.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente encontre a função sabendo a sua derivada e que . Vamos usar o conceito de integração, que basicamente é o processo inverso da derivada, para descobrir . Precisamos integrar e depois achar a constante de integração usando a condição dada.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar cada termo da derivada separadamente. A função será a integral de mais uma constante :

Passo 3

Vamos integrar o primeiro termo . Usamos a regra da potência para integração, que diz que :

Passo 4

Agora, vamos integrar o segundo termo . Aplicando a mesma regra:
Lembrando que .

Passo 5

O último termo para integrar é :

Passo 6

Agora, juntamos todas as integrais e adicionamos a constante :

Passo 7

Para encontrar o valor de , usamos a condição . Substituindo na expressão de :

Passo 8

Simplificando a equação para encontrar :

Resposta

Então, a função é:

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