Seja uma função tal que a integral abaixo esteja bem definida
use a substituição para mostrar que
Use igualdade acima para calcular a integral

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo que pede para mostrar uma identidade usando substituição e depois aplicar essa identidade para calcular uma integral específica. Aqui, estamos trabalhando com integrais envolvendo funções derivadas. Vamos precisar entender como usar substituição em integrais e aplicar essa técnica para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que a integral de em relação a é igual a , onde é a constante de integração. Para isso, vamos usar a técnica de substituição.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição simples onde . Então, a derivada de em relação a é:

Passo 4

Agora, substituímos por e por na integral original:

Passo 5

A integral de em relação a é:

Passo 6

Agora, voltamos à variável original substituindo por :

Passo 7

Então, mostramos que:

Passo 8

Agora, vamos usar essa identidade para calcular a integral . Aqui, podemos identificar e, portanto, .

Passo 9

Aplicando a identidade que mostramos:

Resposta

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    l)
  • Calcule os limites abaixo, justificando o caso onde não existe.
    g)
Determine sabendo que e .