Seja f: I R uma função tal que a integral abaixo esteja bem definida
integral f(x) cdot f^prime(x) d x
use a substituição para mostrar que
integral f(x) cdot f^prime(x) d x=(f(x))^22+C
Use igualdade acima para calcular a integral
integral ln xx d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo que pede para mostrar uma identidade usando substituição e depois aplicar essa identidade para calcular uma integral específica. Aqui, estamos trabalhando com integrais envolvendo funções derivadas. Vamos precisar entender como usar substituição em integrais e aplicar essa técnica para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que a integral de em relação a é igual a , onde é a constante de integração. Para isso, vamos usar a técnica de substituição.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição simples onde dudx = f'(x) implies du = f'(x) dx . Então, a derivada de em relação a é:

Passo 4

Agora, substituímos integral f(x) cdot f'(x) dx = integral u cdot du por e por na integral original:

Passo 5

A integral de integral u , du = u^22 + C em relação a é:

Passo 6

Agora, voltamos à variável original substituindo u^22 + C = (f(x))^22 + C por :

Passo 7

Então, mostramos que:
integral f(x) cdot f^prime(x) dx = (f(x))^22 + C

Passo 8

Agora, vamos usar essa identidade para calcular a integral . Aqui, podemos identificar e, portanto, .

Passo 9

Aplicando a identidade que mostramos:
integral ln xx dx = (ln x)^22 + C

Resposta

integral ln xx dx = (ln x)^22 + C

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