Determine
, sabendo que
, para todo
real, e que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema de encontrar a função
sabendo que a derivada de
em relação a
é
para todo
. Além disso, sabemos que quando
,
.
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com a integração de funções racionais e radicais. Vamos precisar integrar a função
para encontrar
e depois usar a condição inicial
para determinar a constante de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
de uma forma que facilite a integração. Sabemos que
, então:
Passo 3
Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A integral de
é
, desde que
.
Então:
Integrando termo a termo:
Passo 4
Juntando as integrais, obtemos:
Onde
é a constante de integração que precisamos determinar usando a condição inicial.
Passo 5
Vamos usar a condição
para encontrar
. Substituindo
na expressão de
:
Simplificando:
Agora, isolando
:
Resposta
Portanto, a função
é: