Determine , sabendo que , para todo real, e que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de encontrar a função sabendo que a derivada de em relação a é para todo . Além disso, sabemos que quando , .
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com a integração de funções racionais e radicais. Vamos precisar integrar a função para encontrar e depois usar a condição inicial para determinar a constante de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a integração. Sabemos que , então:

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A integral de é , desde que .
Então:
Integrando termo a termo:

Passo 4

Juntando as integrais, obtemos:
Onde é a constante de integração que precisamos determinar usando a condição inicial.

Passo 5

Vamos usar a condição para encontrar . Substituindo na expressão de :
Simplificando:
Agora, isolando :

Resposta

Portanto, a função é:

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