Resolver as seguintes equações lineares:
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . Isso faz parte do conteúdo de Equações Lineares de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação no formato padrão de uma equação linear: . No nosso caso, temos:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a tornar a equação mais fácil de resolver. O fator integrante é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Vamos calcular a integral de :
Podemos simplificar usando propriedades dos logaritmos:
Então, o fator integrante é:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando :
Então, a equação fica:

Passo 6

A equação agora pode ser escrita como a derivada do produto :
Isso porque:

Passo 7

Vamos integrar ambos os lados da equação:
O lado esquerdo simplifica para:

Passo 8

Vamos resolver a integral . Podemos usar a identidade:
Então:

Passo 9

Substituindo de volta na equação:
Agora, isolamos :

Passo 10

Simplificando usando a identidade :
Simplificando mais:

Resposta

A solução geral da equação é:

Exercícios relacionados

Resolver as seguintes equações lineares:
(a)
Determine se são lineares, homogêneas, separáveis ou exatas as seguintes equações diferenciais:
(b)
Determine a solução dos seguintes PVI:
(e)
Determine quais das seguintes equações diferenciais são exatas e encontre a solução nos casos afirmativos:
(f)