Resolver as seguintes equações lineares:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. Isso faz parte do conteúdo de Equações Lineares de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação no formato padrão de uma equação linear:
. No nosso caso, temos:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a tornar a equação mais fácil de resolver. O fator integrante
é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Vamos calcular a integral de
:
Podemos simplificar usando propriedades dos logaritmos:
Então, o fator integrante é:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando
:
Então, a equação fica:
Passo 6
A equação agora pode ser escrita como a derivada do produto
:
Isso porque:
Passo 7
Vamos integrar ambos os lados da equação:
O lado esquerdo simplifica para:
Passo 8
Vamos resolver a integral
. Podemos usar a identidade:
Então:
Passo 9
Substituindo de volta na equação:
Agora, isolamos
:
Passo 10
Simplificando
usando a identidade
:
Simplificando mais:
Resposta
A solução geral da equação é:
Exercícios relacionados
Resolver as seguintes equações lineares:
(a)
(a)
Determine se são lineares, homogêneas, separáveis ou exatas as seguintes equações diferenciais:
(b)
(b)
Determine a solução dos seguintes PVI:
(e)
(e)
Determine quais das seguintes equações diferenciais são exatas e encontre a solução nos casos afirmativos:
(f)
(f)