Determine se são lineares, homogêneas, separáveis ou exatas as seguintes equações diferenciais:
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se a equação diferencial
é linear, homogênea, separável ou exata. Para resolver isso, vamos precisar entender cada um desses tipos de equações e ver qual deles se encaixa melhor na nossa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é separável. Uma equação é separável se conseguimos escrever
, ou seja, se as variáveis
e
puderem ser isoladas em lados diferentes da equação.
Passo 3
Analisando a nossa equação:
Podemos tentar separar os termos de
e
. Vamos fatorar
no denominador:
Agora, a equação ficou:
Ainda não está claramente separável, então vamos para a próxima verificação.
Passo 4
Vamos verificar se a equação é linear. Uma equação diferencial é linear se pode ser escrita na forma
.
Comparando com a nossa equação:
Não conseguimos isolar os termos de
de forma linear, pois
está tanto no numerador quanto no denominador. Portanto, a equação não é linear.
Passo 5
Agora, vamos ver se a equação é homogênea. Uma equação é homogênea se todos os termos podem ser escritos como funções homogêneas do mesmo grau. Isso significa que se substituirmos
e
, a equação será a mesma para qualquer
.
Vamos analisar os termos:
Tanto o numerador quanto o denominador são homogêneos de grau 2 (pois
é grau 2, e
também é grau 2). Portanto, a equação é homogênea.
Passo 6
Por fim, vamos verificar se a equação é exata. Para uma equação ser exata, ela precisa estar na forma
e satisfazer a condição
.
Reescrevendo a nossa equação:
Aqui,
e
.
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Resposta
A equação diferencial
é homogênea, mas não é linear, não é separável e não é exata.
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A função
possui alguma raiz real?
Determine quais das seguintes equações diferenciais são exatas e encontre a solução nos casos afirmativos:
(f)
(f)
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