Determine se são lineares, homogêneas, separáveis ou exatas as seguintes equações diferenciais:
(e)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se a equação diferencial é linear, homogênea, separável ou exata. Para resolver isso, vamos precisar entender cada um desses tipos de equações e ver qual deles se encaixa melhor na nossa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é separável. Uma equação é separável se conseguimos escrever , ou seja, se as variáveis e puderem ser isoladas em lados diferentes da equação.

Passo 3

Analisando a nossa equação:
Podemos tentar separar os termos de e . Vamos fatorar no denominador:
Agora, a equação ficou:
Ainda não está claramente separável, então vamos para a próxima verificação.

Passo 4

Vamos verificar se a equação é linear. Uma equação diferencial é linear se pode ser escrita na forma .
Comparando com a nossa equação:
Não conseguimos isolar os termos de de forma linear, pois está tanto no numerador quanto no denominador. Portanto, a equação não é linear.

Passo 5

Agora, vamos ver se a equação é homogênea. Uma equação é homogênea se todos os termos podem ser escritos como funções homogêneas do mesmo grau. Isso significa que se substituirmos e , a equação será a mesma para qualquer .
Vamos analisar os termos:
Tanto o numerador quanto o denominador são homogêneos de grau 2 (pois é grau 2, e também é grau 2). Portanto, a equação é homogênea.

Passo 6

Por fim, vamos verificar se a equação é exata. Para uma equação ser exata, ela precisa estar na forma e satisfazer a condição .
Reescrevendo a nossa equação:
Aqui, e .
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.

Resposta

A equação diferencial é homogênea, mas não é linear, não é separável e não é exata.

Exercícios relacionados

A função possui alguma raiz real?
Determine quais das seguintes equações diferenciais são exatas e encontre a solução nos casos afirmativos:
(f)
Determine a solução dos seguintes PVI:
©