Determine quais das seguintes equações diferenciais são exatas e encontre a solução nos casos afirmativos:
(f)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que você enviou! O enunciado pede para determinar quais das equações diferenciais dadas são exatas e encontrar a solução nesses casos. A equação que vamos analisar é:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma equação diferencial exata e como verificar se uma equação é exata. Se for exata, usaremos métodos de integrais para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma é exata se satisfizer a condição:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 4

Agora, comparamos as duas derivadas:
Como , a equação é exata.

Passo 5

Como a equação é exata, podemos encontrar uma função tal que:
Isso significa que:
Vamos integrar em relação a para encontrar :
Aqui, é uma função de que aparece na integração.

Passo 6

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Comparando os termos:
Isso implica que:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Portanto, a função é:
A solução geral da equação diferencial é , ou seja:

Resposta

A equação diferencial é exata, e a solução geral é:

Exercícios relacionados

Determine a solução dos seguintes PVI:
(e)
Resolver as seguintes equações lineares:
(b)
A função possui alguma raiz real?
Determine se são lineares, homogêneas, separáveis ou exatas as seguintes equações diferenciais:
(e)