Determine quais das seguintes equações diferenciais são exatas e encontre a solução nos casos afirmativos:
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que você enviou! O enunciado pede para determinar quais das equações diferenciais dadas são exatas e encontrar a solução nesses casos. A equação que vamos analisar é:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma equação diferencial exata e como verificar se uma equação é exata. Se for exata, usaremos métodos de integrais para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma
é exata se satisfizer a condição:
Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 4
Agora, comparamos as duas derivadas:
Como
, a equação é exata.
Passo 5
Como a equação é exata, podemos encontrar uma função
tal que:
Isso significa que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função de
que aparece na integração.
Passo 6
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Comparando os termos:
Isso implica que:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Portanto, a função
é:
A solução geral da equação diferencial é
, ou seja:
Resposta
A equação diferencial é exata, e a solução geral é:
Exercícios relacionados
Determine a solução dos seguintes PVI:
(e)
(e)
Resolver as seguintes equações lineares:
(b)
(b)
A função
possui alguma raiz real?
Determine se são lineares, homogêneas, separáveis ou exatas as seguintes equações diferenciais:
(e)
(e)