A função
possui alguma raiz real?
Passo 1
Vamos resumir o problema: Precisamos verificar se a função
possui alguma raiz real. Isso envolve estudar funções polinomiais e utilizar o Teorema do Valor Intermediário.
Passo 2
Primeiro, observamos que
é uma função polinomial. Funções polinomiais são contínuas em todo o conjunto dos números reais, ou seja, não têm interrupções, saltos ou buracos no seu gráfico.
Passo 3
Vamos analisar o comportamento da função para valores de
muito grandes positivos e negativos:
-
Quando
tende a : Isso porque o termo dominante é, que cresce sem limite positivo. -
Quando
tende a : Aqui, o termo dominantetende a porque é negativo e ímpar.
Passo 4
Segundo o Teorema do Valor Intermediário (TVI), se uma função contínua assume valores de sinais diferentes em dois pontos, então existe pelo menos um ponto entre eles onde a função é zero.
No nosso caso,
passa de
a
, o que significa que a função deve cruzar o eixo
pelo menos uma vez. Portanto, existe pelo menos uma raiz real para
.
Resposta
Sim, a função
possui pelo menos uma raiz real.
Exercícios relacionados
Determine quais das seguintes equações diferenciais são exatas e encontre a solução nos casos afirmativos:
(f)
(f)
Determine a solução dos seguintes PVI:
(e)
(e)
Determine se são lineares, homogêneas, separáveis ou exatas as seguintes equações diferenciais:
(e)
(e)