A função possui alguma raiz real?

Passo 1

Vamos resumir o problema: Precisamos verificar se a função possui alguma raiz real. Isso envolve estudar funções polinomiais e utilizar o Teorema do Valor Intermediário.

Passo 2

Primeiro, observamos que é uma função polinomial. Funções polinomiais são contínuas em todo o conjunto dos números reais, ou seja, não têm interrupções, saltos ou buracos no seu gráfico.

Passo 3

Vamos analisar o comportamento da função para valores de muito grandes positivos e negativos:
  • Quando tende a :
    Isso porque o termo dominante é , que cresce sem limite positivo.
  • Quando tende a :
    Aqui, o termo dominante tende a porque é negativo e ímpar.

Passo 4

Segundo o Teorema do Valor Intermediário (TVI), se uma função contínua assume valores de sinais diferentes em dois pontos, então existe pelo menos um ponto entre eles onde a função é zero.
No nosso caso, passa de a , o que significa que a função deve cruzar o eixo pelo menos uma vez. Portanto, existe pelo menos uma raiz real para .

Resposta

Sim, a função possui pelo menos uma raiz real.

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Determine quais das seguintes equações diferenciais são exatas e encontre a solução nos casos afirmativos:
(f)
Determine a solução dos seguintes PVI:
(e)
Determine se são lineares, homogêneas, separáveis ou exatas as seguintes equações diferenciais:
(e)