Determine quais são os pontos críticos de cada função dada e classifique cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis,
, e precisamos encontrar os pontos críticos dessa função. Ponto crítico é onde as derivadas parciais em relação a
e
são iguais a zero. Depois de encontrar esses pontos, vamos classificar cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
Passo 2
Para encontrar os pontos críticos, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e a
e igualá-las a zero.
Vamos calcular a derivada parcial em relação a
:
E a derivada parcial em relação a
:
Passo 3
Agora, igualamos cada derivada parcial a zero para encontrar os pontos críticos:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de
e
.
Passo 4
Vamos resolver a equação (1) para
:
Agora, substituímos
na equação (2):
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por 16 para eliminar o denominador:
Fatorando
:
Então, temos duas possibilidades:
Passo 5
Agora, encontramos os valores correspondentes de
usando
:
- Para
:
Então, o primeiro ponto crítico é
.
- Para
:
Então, o segundo ponto crítico é
.
Passo 6
Agora que temos os pontos críticos, vamos classificá-los. Para isso, usamos o Teste da Segunda Derivada para funções de duas variáveis. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
Em seguida, calculamos o discriminante
:
Dependendo do valor de
e de
, classificamos o ponto crítico:
- Se
e : mínimo relativo - Se
e : máximo relativo - Se
: ponto de sela - Se
: teste inconclusivo
Passo 7
Vamos aplicar o teste em cada ponto crítico.
- Ponto
:
Como
, o ponto
é um ponto de sela.
- Ponto
:
Como
e
, o ponto
é um mínimo relativo.
Resposta
Os pontos críticos da função
são:
-
: ponto de sela -
: mínimo relativo