Determine quais são os pontos críticos de cada função dada e classifique cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
f(x, y) = x^3 - 4xy + y^3

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, , e precisamos encontrar os pontos críticos dessa função. Ponto crítico é onde as derivadas parciais em relação a e são iguais a zero. Depois de encontrar esses pontos, vamos classificar cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.

Passo 2

Para encontrar os pontos críticos, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e a e igualá-las a zero.
Vamos calcular a derivada parcial em relação a :
E a derivada parcial em relação a :

Passo 3

Agora, igualamos cada derivada parcial a zero para encontrar os pontos críticos:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de e .

Passo 4

Vamos resolver a equação (1) para :
Agora, substituímos na equação (2):
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por 16 para eliminar o denominador:
Fatorando :
Então, temos duas possibilidades:

Passo 5

Agora, encontramos os valores correspondentes de usando :
  1. Para :
Então, o primeiro ponto crítico é .
  1. Para :
Então, o segundo ponto crítico é .

Passo 6

Agora que temos os pontos críticos, vamos classificá-los. Para isso, usamos o Teste da Segunda Derivada para funções de duas variáveis. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
Em seguida, calculamos o discriminante :
Dependendo do valor de e de , classificamos o ponto crítico:
  • Se e : mínimo relativo
  • Se e : máximo relativo
  • Se : ponto de sela
  • Se : teste inconclusivo

Passo 7

Vamos aplicar o teste em cada ponto crítico.
  1. Ponto :
Como , o ponto é um ponto de sela.
  1. Ponto :
Como e , o ponto é um mínimo relativo.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  1. : ponto de sela
  2. : mínimo relativo

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