Use a regra da cadeia para calcular
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
usando a regra da cadeia. A função
é dada por:
onde:
Então, vamos precisar entender a regra da cadeia para derivadas parciais e como aplicá-la nesse caso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a regra da cadeia para derivadas parciais. Se uma função
depende de outras variáveis
e
, que por sua vez dependem de
e
, então as derivadas parciais de
em relação a
e
são dadas por:
Isso significa que a taxa de variação de
em relação a
ou
depende de como
varia com
e
, e como
e
variam com
e
.
Passo 3
Vamos começar calculando as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Explicando: para
, derivamos
em relação a
mantendo
constante. Já para
, derivamos
em relação a
, que dá
, mantendo
constante.
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
e
em relação a
e
:
Para
, aplicamos a derivada:
Isso vem da regra da derivada de uma raiz quadrada e da derivada de uma soma de quadrados.
Passo 5
Agora que temos todas as derivadas necessárias, vamos aplicar a regra da cadeia para encontrar
:
Substituindo os valores:
Podemos simplificar:
Passo 6
Fazendo o mesmo para
:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais de
são: