Use a regra da cadeia para calcular partial zpartial s e partial zpartial t.
z=e^x cos y, x=s t, y=raizs^2+t^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular as derivadas parciais de z = e^x cos y em relação a x = s t e y = raizs^2 + t^2 usando a regra da cadeia. A função é dada por:
onde:
Então, vamos precisar entender a regra da cadeia para derivadas parciais e como aplicá-la nesse caso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a regra da cadeia para derivadas parciais. Se uma função partial zpartial s = partial zpartial x cdot partial xpartial s + partial zpartial y cdot partial ypartial s depende de outras variáveis partial zpartial t = partial zpartial x cdot partial xpartial t + partial zpartial y cdot partial ypartial t e , que por sua vez dependem de e , então as derivadas parciais de em relação a e são dadas por:
Isso significa que a taxa de variação de em relação a ou depende de como varia com e , e como e variam com e .

Passo 3

Vamos começar calculando as derivadas parciais de partial zpartial x = e^x cos y em relação a partial zpartial y = -e^x sin y e :
Explicando: para , derivamos em relação a mantendo constante. Já para , derivamos em relação a , que dá , mantendo constante.

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de partial xpartial s = t e partial xpartial t = s e partial ypartial s = sraizs^2 + t^2 e partial ypartial t = traizs^2 + t^2 em relação a e :
Para , aplicamos a derivada:
Isso vem da regra da derivada de uma raiz quadrada e da derivada de uma soma de quadrados.

Passo 5

Agora que temos todas as derivadas necessárias, vamos aplicar a regra da cadeia para encontrar partial zpartial s = partial zpartial x cdot partial xpartial s + partial zpartial y cdot partial ypartial s :
partial zpartial s = e^x cos y cdot t + (-e^x sin y) cdot sraizs^2 + t^2
Substituindo os valores:
partial zpartial s = e^x t cos y - e^x sraizs^2 + t^2 sin y
Podemos simplificar:

Passo 6

Fazendo o mesmo para partial zpartial t = partial zpartial x cdot partial xpartial t + partial zpartial y cdot partial ypartial t :
partial zpartial t = e^x cos y cdot s + (-e^x sin y) cdot traizs^2 + t^2
Substituindo os valores:
partial zpartial t = e^x s cos y - e^x traizs^2 + t^2 sin y
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais de partial zpartial s = e^s t t cos ( raizs^2 + t^2 ) - e^s t sraizs^2 + t^2 sin ( raizs^2 + t^2 ) são:
partial zpartial t = e^s t s cos ( raizs^2 + t^2 ) - e^s t traizs^2 + t^2 sin ( raizs^2 + t^2 )

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