Determine quais são os pontos críticos de cada função dada e classifique cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
f(x, y) = x ln(y^2/x) + 3x - xy^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos os pontos críticos da função e classificá-los como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e .
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :

Passo 3

Agora, encontramos os pontos críticos resolvendo o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Da segunda equação:
Como (porque a função não está definida para ), temos:
Substituindo na primeira equação:
Fazendo o mesmo para :
Portanto, os pontos críticos são e .

Passo 4

Para classificar os pontos críticos, usamos o teste da segunda derivada. Precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
  • Segunda derivada em relação a :
  • Segunda derivada em relação a :
  • Segunda derivada mista:
Calculamos o determinante do Hessiano:
Para o ponto :
O mesmo acontece para o ponto :

Passo 5

Quando o determinante do Hessiano , o teste da segunda derivada fica inconclusivo. Nesse caso, precisamos analisar mais a fundo o comportamento da função nos arredores dos pontos críticos.
Analisando a função , observamos que perto de e , a função apresenta comportamentos que não indicam claramente um máximo ou mínimo, sugerindo a presença de pontos de sela.

Resposta

Os pontos críticos da função são e , e ambos são classificados como pontos de sela.

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