Determine quais são os pontos críticos de cada função dada e classifique cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos os pontos críticos da função e classificá-los como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e .
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Passo 3
Agora, encontramos os pontos críticos resolvendo o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Da segunda equação:
Como (porque a função não está definida para ), temos:
Substituindo na primeira equação:
Fazendo o mesmo para :
Portanto, os pontos críticos são e .
Passo 4
Para classificar os pontos críticos, usamos o teste da segunda derivada. Precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
Segunda derivada em relação a :
Segunda derivada em relação a :
Segunda derivada mista:
Calculamos o determinante do Hessiano:
Para o ponto :
O mesmo acontece para o ponto :
Passo 5
Quando o determinante do Hessiano , o teste da segunda derivada fica inconclusivo. Nesse caso, precisamos analisar mais a fundo o comportamento da função nos arredores dos pontos críticos.
Analisando a função , observamos que perto de e , a função apresenta comportamentos que não indicam claramente um máximo ou mínimo, sugerindo a presença de pontos de sela.
Resposta
Os pontos críticos da função são e , e ambos são classificados como pontos de sela.