Determine quais são os pontos críticos de cada função dada e classifique cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
f(x, y)=x^2 - 4*x*y + y^2 + 6*y + 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar os pontos críticos da função e classificar cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e o teste da segunda derivada. Basicamente, vamos ver onde as inclinações da função param em e são nulas e depois analisar a curvatura nesses pontos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando uma variável muda, mantendo a outra constante.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Vamos resolver a primeira equação para :
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituindo na equação :
Então, o ponto crítico é .

Passo 4

Para classificar esse ponto crítico, vamos usar o teste da segunda derivada. Primeiro, precisamos calcular as segundas derivadas parciais:

Passo 5

Agora, calculamos o determinante da matriz Hessiana :

Passo 6

Com o determinante , que é menor que zero, sabemos que o ponto crítico é um ponto de sela. Isso acontece porque a função tem direções em que ela se curva para cima e outras para baixo nesse ponto.

Resposta

O único ponto crítico da função é e ele é um ponto de sela.

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