Determine quais são os pontos críticos de cada função dada e classifique cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar os pontos críticos da função
e classificar cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e o teste da segunda derivada. Basicamente, vamos ver onde as inclinações da função param em
e
são nulas e depois analisar a curvatura nesses pontos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando uma variável muda, mantendo a outra constante.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Vamos resolver a primeira equação para
:
Substituindo
na segunda equação:
Agora, substituindo
na equação
:
Então, o ponto crítico é
.
Passo 4
Para classificar esse ponto crítico, vamos usar o teste da segunda derivada. Primeiro, precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
Passo 5
Agora, calculamos o determinante da matriz Hessiana
:
Passo 6
Com o determinante
, que é menor que zero, sabemos que o ponto crítico
é um ponto de sela. Isso acontece porque a função tem direções em que ela se curva para cima e outras para baixo nesse ponto.
Resposta
O único ponto crítico da função é
e ele é um ponto de sela.