Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados.
y = x^2, y^2 = x; ao redor do eixo x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o volume do sólido formado quando rotacionamos a região limitada pelas curvas e em torno do eixo . Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo integral para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os pontos de interseção das duas curvas para saber os limites de integração. Vamos igualar as duas equações:
Substituindo da primeira equação na segunda:
Então, as curvas se intersectam em e .

Passo 3

Agora, vamos determinar qual função está acima da outra no intervalo de integração . Vamos escolher um valor de entre 0 e 1, por exemplo, :
Como , a função (derivada de ) está acima de nesse intervalo.

Passo 4

Usando o método dos discos, a fórmula para o volume quando rotacionamos em torno do eixo é:
Onde:
  • é a função de maior valor de (no nosso caso, )
  • é a função de menor valor de (no nosso caso, )
  • e são os limites de integração (0 e 1)

Passo 5

Substituindo as funções e os limites na fórmula, temos:

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral:
Calculando nos limites:
Para :
Para :

Passo 7

Subtraindo os valores:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados