Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados.
; ao redor do eixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o volume do sólido formado quando rotacionamos a região limitada pelas curvas
e
em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo integral para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar os pontos de interseção das duas curvas para saber os limites de integração. Vamos igualar as duas equações:
Substituindo
da primeira equação na segunda:
Então, as curvas se intersectam em
e
.
Passo 3
Agora, vamos determinar qual função está acima da outra no intervalo de integração
. Vamos escolher um valor de
entre 0 e 1, por exemplo,
:
Como
, a função
(derivada de
) está acima de
nesse intervalo.
Passo 4
Usando o método dos discos, a fórmula para o volume
quando rotacionamos em torno do eixo
é:
Onde:
-
é a função de maior valor de (no nosso caso, ) -
é a função de menor valor de (no nosso caso, ) -
e são os limites de integração (0 e 1)
Passo 5
Substituindo as funções e os limites na fórmula, temos:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral:
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Passo 7
Subtraindo os valores:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.