Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados.
; ao redor do eixo
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede. Temos que encontrar o volume de um sólido que resulta da rotação de uma região delimitada pelas curvas
,
,
e
ao redor do eixo
. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos (ou anéis) da geometria analítica, que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender as curvas que delimitam a região. A curva
é uma parábola que abre para cima. O intervalo
nos dá os limites horizontais, e
é uma linha reta horizontal. Além disso,
representa o eixo
.
Passo 3
Vamos visualizar a região: é a área entre a parábola
, a linha
, e os limites
e
. Para rotacionar essa região em torno do eixo
, usaremos o método dos “anéis”, que consiste em integrar as áreas das fatias circulares geradas pela rotação.
Passo 4
No método dos anéis, o volume
é dado pela integral de
em relação a
, onde
é o raio externo e
é o raio interno de cada anel. Neste caso, como estamos girando em torno do eixo
, precisamos expressar
em função de
.
Passo 5
Vamos reescrever
para obter
. Assim, o raio externo
será a distância do eixo
até
, que é uma constante
. O raio interno
é a distância do eixo
até a curva
, ou seja,
.
Passo 6
Agora, definimos os limites de integração. Como
varia da parte inferior da região até a superior, temos
indo de
até
.
Passo 7
Escrevemos a integral para o volume:
Passo 8
Simplificamos a expressão dentro da integral:
Passo 9
Calculamos a integral:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.