Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados.
y = x^2, 0 <= x <= 2, y = 4, x = 0; ao redor do eixo y

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede. Temos que encontrar o volume de um sólido que resulta da rotação de uma região delimitada pelas curvas , , e ao redor do eixo . Para resolver isso, vamos usar o método dos discos (ou anéis) da geometria analítica, que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender as curvas que delimitam a região. A curva é uma parábola que abre para cima. O intervalo nos dá os limites horizontais, e é uma linha reta horizontal. Além disso, representa o eixo .

Passo 3

Vamos visualizar a região: é a área entre a parábola , a linha , e os limites e . Para rotacionar essa região em torno do eixo , usaremos o método dos “anéis”, que consiste em integrar as áreas das fatias circulares geradas pela rotação.

Passo 4

No método dos anéis, o volume é dado pela integral de em relação a , onde é o raio externo e é o raio interno de cada anel. Neste caso, como estamos girando em torno do eixo , precisamos expressar em função de .

Passo 5

Vamos reescrever para obter . Assim, o raio externo será a distância do eixo até , que é uma constante . O raio interno é a distância do eixo até a curva , ou seja, .

Passo 6

Agora, definimos os limites de integração. Como varia da parte inferior da região até a superior, temos indo de até .

Passo 7

Escrevemos a integral para o volume:

Passo 8

Simplificamos a expressão dentro da integral:

Passo 9

Calculamos a integral:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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