Determine quais são os pontos críticos de cada função dada e classifique cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
f(x, y) = 1/x + 1/y + 1/(x+y)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar os pontos críticos da função e dizer se cada ponto é um máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
Da mesma forma, a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Os pontos críticos são onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Então, vamos resolver o sistema:
Ou seja,
Podemos simplificar esses equações igualando as expressões:
Isso nos dá duas possibilidades: ou .
Vamos considerar :
Substituindo na primeira equação:
Essa equação não tem solução real, pois não existe real que satisfaça isso.
Agora, vamos considerar :
Substituindo na primeira equação:
Aqui, vemos que temos uma divisão por zero, o que não é permitida. Portanto, não há pontos críticos reais para essa função.

Resposta

Não existem pontos críticos reais para a função .

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