Determine quais são os pontos críticos de cada função dada e classifique cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar os pontos críticos da função
e dizer se cada ponto é um máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
Da mesma forma, a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Os pontos críticos são onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Então, vamos resolver o sistema:
Ou seja,
Podemos simplificar esses equações igualando as expressões:
Isso nos dá duas possibilidades:
ou
.
Vamos considerar
:
Substituindo na primeira equação:
Essa equação não tem solução real, pois não existe
real que satisfaça isso.
Agora, vamos considerar
:
Substituindo na primeira equação:
Aqui, vemos que temos uma divisão por zero, o que não é permitida. Portanto, não há pontos críticos reais para essa função.
Resposta
Não existem pontos críticos reais para a função
.