Determine quais são os pontos críticos de cada função dada e classifique cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
Passo 1
Beleza, então o enunciado pede pra gente encontrar os pontos críticos da função
e classificar cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
. Essas derivadas vão nos ajudar a identificar onde a função tem pontos críticos.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, a derivada parcial em relação a
:
Passo 5
Para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero:
Como a exponencial nunca é zero, podemos simplificar as equações:
Passo 6
Portanto, o único ponto crítico é
.
Passo 7
Agora, vamos classificar esse ponto usando a segunda derivada. Primeiro, encontramos as derivadas de segunda ordem:
No ponto
, temos:
O discriminante
é calculado por:
Como
e
, o ponto
é um máximo relativo.
Resposta
O único ponto crítico é
e ele é um máximo relativo.