Determine quais são os pontos críticos de cada função dada e classifique cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
f(x, y) = e^(- (x^2 + y^2 - 6y))

Passo 1

Beleza, então o enunciado pede pra gente encontrar os pontos críticos da função e classificar cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . Essas derivadas vão nos ajudar a identificar onde a função tem pontos críticos.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, a derivada parcial em relação a :

Passo 5

Para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero:
Como a exponencial nunca é zero, podemos simplificar as equações:

Passo 6

Portanto, o único ponto crítico é .

Passo 7

Agora, vamos classificar esse ponto usando a segunda derivada. Primeiro, encontramos as derivadas de segunda ordem:
No ponto , temos:
O discriminante é calculado por:
Como e , o ponto é um máximo relativo.

Resposta

O único ponto crítico é e ele é um máximo relativo.

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