Resolva as EDO
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que envolve funções exponenciais e a derivada de
em relação a
. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a técnica de separação de variáveis, que ajuda a reorganizar a equação de forma que todas as
fiquem de um lado e todas as
do outro.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis. Queremos ter todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro. Então, começamos dividindo ambos os lados por
e por
:
Passo 3
Agora que temos as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados. A ideia aqui é encontrar as funções primitivas que, quando derivadas, nos dão os lados originais da equação.
Para o lado esquerdo:
Sabemos que:
Para o lado direito:
Vamos simplificar o denominador:
Então, a integral fica:
Mas, para simplificar, podemos usar a integral padrão:
Passo 4
Igualando as integrais dos dois lados, temos:
Vamos isolar
:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Finalmente, resolvemos para
invertendo os dois lados da equação:
Podemos simplificar colocando a constante de forma mais geral:
onde
é uma nova constante.
Resposta
A solução geral da EDO é:
onde
é uma constante arbitrária.