Resolva as EDO 9(e^x + e^-x) dy/dx = y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que envolve funções exponenciais e a derivada de em relação a . Para resolver isso, vamos precisar aplicar a técnica de separação de variáveis, que ajuda a reorganizar a equação de forma que todas as fiquem de um lado e todas as do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis. Queremos ter todos os termos com de um lado e os termos com do outro. Então, começamos dividindo ambos os lados por e por :

Passo 3

Agora que temos as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados. A ideia aqui é encontrar as funções primitivas que, quando derivadas, nos dão os lados originais da equação.
Para o lado esquerdo:
Sabemos que:
Para o lado direito:
Vamos simplificar o denominador:
Então, a integral fica:
Mas, para simplificar, podemos usar a integral padrão:

Passo 4

Igualando as integrais dos dois lados, temos:
Vamos isolar :
onde é a constante de integração.

Passo 5

Finalmente, resolvemos para invertendo os dois lados da equação:
Podemos simplificar colocando a constante de forma mais geral:
onde é uma nova constante.

Resposta

A solução geral da EDO é:
onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados