Resolva as EDO d y/d x = (1 - (x + y)) / (x + y) ; u = x + y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é e a gente tem a substituição . A matéria aqui envolve cálculo diferencial, especificamente equações diferenciais de primeira ordem. Vamos precisar usar substituição para simplificar a equação e então resolver essa EDO.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição que a gente tem: . Isso vai ajudar a simplificar a equação.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a . Como , derivando ambos os lados em relação a , temos:

Passo 4

A equação original nos dá . Vamos substituir isso na expressão que encontramos para :

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
Então, temos:

Passo 6

Essa é uma equação diferencial separável, o que significa que podemos separar as variáveis e . Vamos multiplicar ambos os lados por e :

Passo 7

Agora, vamos integrar os dois lados:
onde é a constante de integração.

Passo 8

Vamos resolver para :
onde é uma nova constante.
Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A solução geral da EDO é:
onde é a constante de integração.

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