Determine se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações
f)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a afirmação está nos dizendo. Temos a desigualdade , que define um intervalo para o valor de . A pergunta é se, para todo nesse intervalo, a expressão é maior que zero. Vamos usar conceitos de inequações e funções quadráticas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a desigualdade . O valor absoluto significa que a distância entre e é menor que . Isso nos dá o intervalo:
Então, está entre e .

Passo 3

Agora, queremos saber se, para todo nesse intervalo ( ), a expressão é maior que zero, ou seja:

Passo 4

Vamos resolver a inequação quadrática . Primeiro, encontramos as raízes da equação usando a fórmula de Bhaskara:
As raízes são:
Portanto, as raízes são e .

Passo 5

Analisando o sinal da parábola , que abre para cima (porque o coeficiente de é positivo), sabemos que a expressão é positiva fora das raízes e negativa entre elas. Ou seja:
  • Para ,
  • Para ,
  • Para ,

Passo 6

Lembrando que nosso intervalo de interesse é . Dentro desse intervalo, verificamos que para todo , a expressão é maior que zero. Como não há valores em que tornem a expressão negativa, a afirmação é verdadeira.

Resposta

Verdadeira.

Exercícios relacionados

Usando o Wronskiano, mostre a independência linear dos seguintes pares de funções (índices diferentes significam constantes diferentes).
Encontre a área da região que está dentro de ambos os círculos e .
a)
b)
c)
d)
e)
Use a Desigualdade Triangular para mostrar que
b) Se e , então
A temperatura (em graus Celsius) em um ponto em uma placa de metal no plano é
Uma formiga em quer caminhar na direção em que a temperatura diminui mais rapidamente. Encontre um vetor unitário nessa direção.