Determine se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações
f) |x-5| < 2 implica x^2 - 5x + 6 > 0, para todo x em R

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a afirmação está nos dizendo. Temos a desigualdade , que define um intervalo para o valor de x. A pergunta é se, para todo x nesse intervalo, a expressão é maior que zero. Vamos usar conceitos de inequações e funções quadráticas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a desigualdade . O valor absoluto significa que a distância entre x e é menor que . Isso nos dá o intervalo:
Então, x está entre e .

Passo 3

Agora, queremos saber se, para todo x nesse intervalo ( ), a expressão é maior que zero, ou seja:

Passo 4

Vamos resolver a inequação quadrática . Primeiro, encontramos as raízes da equação usando a fórmula de Bhaskara:
As raízes são:
Portanto, as raízes são x = 2 e .

Passo 5

Analisando o sinal da parábola , que abre para cima (porque o coeficiente de é positivo), sabemos que a expressão é positiva fora das raízes e negativa entre elas. Ou seja:
  • Para ,
  • Para ,
  • Para ,

Passo 6

Lembrando que nosso intervalo de interesse é . Dentro desse intervalo, verificamos que para todo , a expressão é maior que zero. Como não há valores em que tornem a expressão negativa, a afirmação é verdadeira.

Resposta

Verdadeira.

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