Determine se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações
f)
f)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a afirmação está nos dizendo. Temos a desigualdade
, que define um intervalo para o valor de
. A pergunta é se, para todo
nesse intervalo, a expressão
é maior que zero. Vamos usar conceitos de inequações e funções quadráticas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a desigualdade
. O valor absoluto
significa que a distância entre
e
é menor que
. Isso nos dá o intervalo:
Então,
está entre
e
.
Passo 3
Agora, queremos saber se, para todo
nesse intervalo (
), a expressão
é maior que zero, ou seja:
Passo 4
Vamos resolver a inequação quadrática
. Primeiro, encontramos as raízes da equação
usando a fórmula de Bhaskara:
As raízes são:
Portanto, as raízes são
e
.
Passo 5
Analisando o sinal da parábola
, que abre para cima (porque o coeficiente de
é positivo), sabemos que a expressão é positiva fora das raízes e negativa entre elas. Ou seja:
- Para
, - Para
, - Para
,
Passo 6
Lembrando que nosso intervalo de interesse é
. Dentro desse intervalo, verificamos que para todo
, a expressão
é maior que zero. Como não há valores em
que tornem a expressão negativa, a afirmação é verdadeira.
Resposta
Verdadeira.
Exercícios relacionados
Usando o Wronskiano, mostre a independência linear dos seguintes pares de funções (índices diferentes significam constantes diferentes).
Encontre a área da região que está dentro de ambos os círculos
e
.
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Use a Desigualdade Triangular para mostrar que
b) Se e
, então
b) Se
A temperatura (em graus Celsius) em um ponto
em uma placa de metal no plano
é
Uma formiga em
quer caminhar na direção em que a temperatura diminui mais rapidamente. Encontre um vetor unitário nessa direção.