Use a Desigualdade Triangular para mostrar que
b) Se |x - x0| < r/2 e |y - y0| < r/2, então |(x+y)-(x0+y0)|<r

Passo 1

Neste exercício, vamos utilizar a Desigualdade Triangular, que faz parte da matéria de Álgebra ou Análise Matemática. O objetivo é mostrar que, se a distância entre e for menor que e a distância entre e também for menor que , então a distância entre e será menor que . Para isso, precisaremos aplicar a Desigualdade Triangular, que nos ajuda a estimar a soma de duas distâncias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Desigualdade Triangular. Ela afirma que, para quaisquer números reais e ,
Essa propriedade nos permite somar as distâncias individuais e obter uma estimativa da distância total.

Passo 3

Vamos aplicar a Desigualdade Triangular à expressão que queremos analisar:
Primeiro, vamos simplificar essa expressão:

Passo 4

Agora, aplicamos a Desigualdade Triangular à expressão simplificada:
Isso nos mostra que a distância entre e é, no m��ximo, a soma das distâncias individuais entre e , e e .

Passo 5

De acordo com o enunciado, sabemos que:
Somando essas duas desigualdades, temos:

Passo 6

Substituindo este resultado na desigualdade obtida anteriormente:
Portanto, mostramos que a distância entre e é menor que .

Resposta

Assim, demonstramos que .

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