A temperatura (em graus Celsius) em um ponto (x, y) em uma placa de metal no plano x y é
T(x, y) = x y / (1 + x^2 + y^2)
Uma formiga em 1,1 quer caminhar na direção em que a temperatura diminui mais rapidamente. Encontre um vetor unitário nessa direção.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função que representa a temperatura em um ponto de uma placa de metal. A formiga está no ponto e quer caminhar na direção onde a temperatura diminui mais rapidamente. Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente em Cálculo Vetorial, que nos mostra a direção de maior variação da função. Precisamos calcular o gradiente de no ponto e então encontrar o vetor unitário na direção oposta a esse gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . O gradiente de é dado por:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
Simplificando:
Agora, a derivada parcial de em relação a :
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :

Passo 5

Com isso, o gradiente de no ponto é:
A direção em que a temperatura diminui mais rapidamente é o vetor oposto ao gradiente:

Passo 6

Para encontrar um vetor unitário nessa direção, vamos normalizar o vetor . A norma desse vetor é:
Então, o vetor unitário é:

Resposta

Um vetor unitário na direção em que a temperatura diminui mais rapidamente é .

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