A temperatura (em graus Celsius) em um ponto em uma placa de metal no plano é
Uma formiga em quer caminhar na direção em que a temperatura diminui mais rapidamente. Encontre um vetor unitário nessa direção.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função que representa a temperatura em um ponto de uma placa de metal. A formiga está no ponto e quer caminhar na direção onde a temperatura diminui mais rapidamente. Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente em Cálculo Vetorial, que nos mostra a direção de maior variação da função. Precisamos calcular o gradiente de no ponto e então encontrar o vetor unitário na direção oposta a esse gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . O gradiente de é dado por:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de em relação a :
Simplificando:
Agora, a derivada parcial de em relação a :
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Passo 5
Com isso, o gradiente de no ponto é:
A direção em que a temperatura diminui mais rapidamente é o vetor oposto ao gradiente:
Passo 6
Para encontrar um vetor unitário nessa direção, vamos normalizar o vetor . A norma desse vetor é:
Então, o vetor unitário é:
Resposta
Um vetor unitário na direção em que a temperatura diminui mais rapidamente é .