Usando o Wronskiano, mostre a independência linear dos seguintes pares de funções (índices diferentes significam constantes diferentes).
Passo 1
Então, vamos lá! A questão pede para a gente usar o Wronskiano para mostrar que as funções e são linearmente independentes. Basicamente, estamos trabalhando com equações diferenciais e independência linear de soluções. Para resolver isso, vamos precisar calcular o Wronskiano dessas duas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. O Wronskiano de duas funções e é definido como o determinante da matriz formada por essas funções e suas primeiras derivadas:
Esse determinante nos ajuda a verificar se as funções são linearmente independentes. Se o Wronskiano for diferente de zero em algum ponto do intervalo considerado, então as funções são linearmente independentes nesse intervalo.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas das funções:
Para :
Para :
Usamos a regra do produto:
Passo 4
Agora, substituímos e na matriz do Wronskiano:
Passo 5
Calculamos o determinante dessa matriz:
Simplificando:
Passo 6
Observamos que nunca é zero para qualquer valor de e . Portanto, o Wronskiano é sempre diferente de zero.
Resposta
Como o Wronskiano é diferente de zero para todo , as funções e são linearmente independentes.