Usando o Wronskiano, mostre a independência linear dos seguintes pares de funções (índices diferentes significam constantes diferentes).

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede para a gente usar o Wronskiano para mostrar que as funções e são linearmente independentes. Basicamente, estamos trabalhando com equações diferenciais e independência linear de soluções. Para resolver isso, vamos precisar calcular o Wronskiano dessas duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. O Wronskiano de duas funções e é definido como o determinante da matriz formada por essas funções e suas primeiras derivadas:
Esse determinante nos ajuda a verificar se as funções são linearmente independentes. Se o Wronskiano for diferente de zero em algum ponto do intervalo considerado, então as funções são linearmente independentes nesse intervalo.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas das funções:
Para :
Para :
Usamos a regra do produto:

Passo 4

Agora, substituímos e na matriz do Wronskiano:

Passo 5

Calculamos o determinante dessa matriz:
Simplificando:

Passo 6

Observamos que nunca é zero para qualquer valor de e . Portanto, o Wronskiano é sempre diferente de zero.

Resposta

Como o Wronskiano é diferente de zero para todo , as funções e são linearmente independentes.

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