Determine se são verdadeiras ou falsas as seguintes proposições. Justifique sua resposta!
Se é uma matriz simétrica cujo polinômio característico é , então a dimensão do autoespaço de é 3 .
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz que é , simétrica, e seu polinômio característico é . Queremos saber se a dimensão do autoespaço de é 3. Para resolver isso, vamos precisar conhecer conceitos de álgebra linear relacionados a matrizes simétricas, polinômios característicos e autoespaços.
Passo 2
Primeiro, sabemos que o polinômico característico de uma matriz é dado por . No caso, indica que é o único valor próprio de , com multiplicidade algébrica 3.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre matrizes simétricas. Uma propriedade importante das matrizes simétricas é que elas são diagonalizáveis. Isso significa que toda matriz simétrica pode ser escrita como , onde é uma matriz ortogonal e é uma matriz diagonal com os valores próprios de .
Passo 4
Como é diagonalizável e o polinômio característico tem com multiplicidade algébrica 3, a multiplicidade geométrica (ou seja, a dimensão do autoespaço correspondente a ) deve ser igual à multiplicidade algébrica. Portanto, a dimensão do autoespaço de é 3.
Resposta
A proposição é verdadeira. A dimensão do autoespaço de é 3.