Determine se são verdadeiras ou falsas as seguintes proposições. Justifique sua resposta!
Se A é uma matriz 3 times 3 simétrica cujo polinômio característico é P(lambda)=(lambda-2)^3, então a dimensão do autoespaço de A é 3 .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz A que é 3 times 3, simétrica, e seu polinômio característico é P(lambda) = (lambda - 2)^3. Queremos saber se a dimensão do autoespaço de A é 3. Para resolver isso, vamos precisar conhecer conceitos de álgebra linear relacionados a matrizes simétricas, polinômios característicos e autoespaços.

Passo 2

Primeiro, sabemos que o polinômico característico P(lambda) de uma matriz A é dado por det(A - lambda I). No caso, P(lambda) = (lambda - 2)^3 indica que lambda = 2 é o único valor próprio de A, com multiplicidade algébrica 3.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre matrizes simétricas. Uma propriedade importante das matrizes simétricas é que elas são diagonalizáveis. Isso significa que toda matriz simétrica pode ser escrita como A = QDQ^T, onde Q é uma matriz ortogonal e D é uma matriz diagonal com os valores próprios de A.

Passo 4

Como A é diagonalizável e o polinômio característico tem lambda = 2 com multiplicidade algébrica 3, a multiplicidade geométrica (ou seja, a dimensão do autoespaço correspondente a lambda = 2) deve ser igual à multiplicidade algébrica. Portanto, a dimensão do autoespaço de A é 3.

Resposta

A proposição é verdadeira. A dimensão do autoespaço de A é 3.

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