Determine se são verdadeiras ou falsas as seguintes proposições. Justifique sua resposta!
Se
é uma matriz
simétrica cujo polinômio característico é
, então a dimensão do autoespaço de
é 3 .
Se
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz
que é
, simétrica, e seu polinômio característico é
. Queremos saber se a dimensão do autoespaço de
é 3. Para resolver isso, vamos precisar conhecer conceitos de álgebra linear relacionados a matrizes simétricas, polinômios característicos e autoespaços.
Passo 2
Primeiro, sabemos que o polinômico característico
de uma matriz
é dado por
. No caso,
indica que
é o único valor próprio de
, com multiplicidade algébrica 3.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre matrizes simétricas. Uma propriedade importante das matrizes simétricas é que elas são diagonalizáveis. Isso significa que toda matriz simétrica pode ser escrita como
, onde
é uma matriz ortogonal e
é uma matriz diagonal com os valores próprios de
.
Passo 4
Como
é diagonalizável e o polinômio característico tem
com multiplicidade algébrica 3, a multiplicidade geométrica (ou seja, a dimensão do autoespaço correspondente a
) deve ser igual à multiplicidade algébrica. Portanto, a dimensão do autoespaço de
é 3.
Resposta
A proposição é verdadeira. A dimensão do autoespaço de
é 3.