Encontre e classifique os pontos críticos das funções abaixo à partir do conceito de autovalores e a matriz hessiana.
f(x, y)=x^33-2 y^3-5 x+6 y-5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar e classificar os pontos críticos da função . Para isso, vamos usar o conceito de autovalores e a matriz hessiana. Isso tudo faz parte da matéria de Cálculo Multivariável, onde estudamos como identificar e classificar pontos especiais das funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de fx = ddx(x^33 - 2 y^3 - 5x + 6y - 5) = x^2 - 5 em relação a fy = ddy(x^33 - 2 y^3 - 5x + 6y - 5) = -6y^2 + 6 e e igualá-las a zero.
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos resolver o sistema de equações para encontrar os pontos onde ambas as derivadas são iguais a zero:
x^2 - 5 = 0 -6y^2 + 6 = 0
Resolvendo a primeira equação:
x^2 - 5 = 0 implies x^2 = 5 implies x = raiz5 ou x = -raiz5
Resolvendo a segunda equação:
-6y^2 + 6 = 0 implies -6y^2 = -6 implies y^2 = 1 implies y = 1 ou y = -1
Então, os pontos críticos são:
(raiz5, 1), (raiz5, -1), (-raiz5, 1), (-raiz5, -1)

Passo 4

Agora que temos os pontos críticos, vamos construir a matriz hessiana da função H = fxx & fxy fyx & fyy . A matriz hessiana é uma matriz quadrada que contém as segundas derivadas parciais de fxx = ddx(fx) = ddx(x^2 - 5) = 2x :
fxy = fyx = ddy(fx) = ddy(x^2 - 5) = 0
Calculando as segundas derivadas:
fyy = ddy(fy) = ddy(-6y^2 + 6) = -12y
H = 2x & 0 0 & -12y
Então, a matriz hessiana fica:

Passo 5

Agora, para classificar os pontos críticos, vamos calcular os autovalores da matriz hessiana em cada ponto crítico. Os autovalores nos dizem se o ponto é um mínimo, máximo ou ponto de sela.
Para uma matriz diagonal como a nossa, os autovalores são os elementos da diagonal. Então, para cada ponto lambda1 = 2x :
lambda2 = -12y
lambda1 = 2raiz5 > 0
Vamos analisar cada ponto:
  1. Ponto lambda2 = -12(1) = -12 < 0 :
    lambda1 = 2raiz5 > 0
    lambda2 = -12(-1) = 12 > 0
    Como os autovalores têm sinais diferentes, esse ponto é um ponto de sela.
  2. Ponto lambda1 = 2(-raiz5) = -2raiz5 < 0 :
    lambda2 = -12(1) = -12 < 0
    lambda1 = 2(-raiz5) = -2raiz5 < 0
    Ambos os autovalores são positivos, então esse ponto é um mínimo local.
  3. Ponto lambda2 = -12(-1) = 12 > 0 :
    Ambos os autovalores são negativos, então esse ponto é um máximo local.
  4. Ponto :
    Como os autovalores têm sinais diferentes, esse ponto é um ponto de sela.

Resposta

Os pontos críticos e suas classificações são:
  • → Ponto de sela
  • → Mínimo local
  • → Máximo local
  • → Ponto de sela

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