Encontre e classifique os pontos críticos das funções abaixo à partir do conceito de autovalores e a matriz hessiana.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar e classificar os pontos críticos da função
. Para isso, vamos usar o conceito de autovalores e a matriz hessiana. Isso tudo faz parte da matéria de Cálculo Multivariável, onde estudamos como identificar e classificar pontos especiais das funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
e igualá-las a zero.
A derivada parcial de
em relação a
é:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos resolver o sistema de equações para encontrar os pontos onde ambas as derivadas são iguais a zero:
Resolvendo a primeira equação:
Resolvendo a segunda equação:
Então, os pontos críticos são:
Passo 4
Agora que temos os pontos críticos, vamos construir a matriz hessiana da função
. A matriz hessiana é uma matriz quadrada que contém as segundas derivadas parciais de
:
Calculando as segundas derivadas:
Então, a matriz hessiana fica:
Passo 5
Agora, para classificar os pontos críticos, vamos calcular os autovalores da matriz hessiana em cada ponto crítico. Os autovalores nos dizem se o ponto é um mínimo, máximo ou ponto de sela.
Para uma matriz diagonal como a nossa, os autovalores são os elementos da diagonal. Então, para cada ponto
:
Vamos analisar cada ponto:
-
Ponto
: Como os autovalores têm sinais diferentes, esse ponto é um ponto de sela. -
Ponto
: Ambos os autovalores são positivos, então esse ponto é um mínimo local. -
Ponto
: Ambos os autovalores são negativos, então esse ponto é um máximo local. -
Ponto
: Como os autovalores têm sinais diferentes, esse ponto é um ponto de sela.
Resposta
Os pontos críticos e suas classificações são:
-
→ Ponto de sela -
→ Mínimo local -
→ Máximo local -
→ Ponto de sela
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e
b)
b)
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Se
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f)
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Encontre e classifique os pontos críticos das funções abaixo à partir do conceito de autovalores e a matriz hessiana.